Supongamos que intento tomar el capítulo II de Hartshorne y rehacerlo todo con anillos no conmutativos en lugar de anillos conmutativos. ¿Es esto posible? ¿Qué partes funcionan en el entorno no conmutativo y cuáles no?
Editar: También agradezco cualquier comentario/referencia sobre cualquier noción razonable de "geometría algebraica no conmutativa".
Puedo decir más para este tema. Como algunos podrían argumentar, una aproximación a la geometría no conmutativa del álgebra no conmutativa es considerar la categoría de módulo sobre esta álgebra. Digamos que uno define Mod(A)( esquema afín no conmutativo )como categoría de gavillas cuasi coherentes sobre el espacio de inexistencia y entonces una vez que tenemos el morfismo de álgebra A a B, tenemos el functor Mod(B)--->Mod(A). Pero NO creo que hayamos fallado definen el espacio topológico y la gavilla de estructura en este enfoque. De hecho, en una configuración mucho más general, digamos que consideramos las categorías abelianas/grothendieck como categoría de gavillas cuasi coherentes en el espacio de no existencia (esquema no conmutativo). Rosenberg definió espectro de la categoría de able y es efectivamente el espacio topológico subyacente de esquema no conmutativo . Y, podemos asociar gavilla de anillos en este espacio topológico entonces podemos reconstruir Mod(A) (categoría definida como esquema no conmutativo), y en particular, si A es un anillo conmutativo y Mod(A) como Qcoh(SpecA,O), podemos reconstruir el esquema conmutativo
En realidad, Rosenberg tiene un artículo que se ciñe al lenguaje de la teoría de módulos y anillos que describe espectro de un anillo no conmutativo El espectro izquierdo, el radical de Levitzki y los esquemas no conmutativos . En este trabajo introdujo el espectro izquierdo para un anillo no conmutativo que es un espacio topológico y definió la preseaf de estructura en este espectro. Además, en el capítulo I de su libro Geometría algebraica no conmutativa y representación del álgebra cuantizada basándose en el espectro izquierdo (LspecR) del anillo no conmutativo R y en la gavilla de módulo sobre este espectro izquierdo, consiguió reconstruir el módulo sobre este anillo R como un sección global de esta gavilla (que es un presheaf casi coherente en (LSpecR, O)). Además, en su artículo anterior, también comparó su definición de espectro izquierdo con el esquema de F. van Oystaeyen.
Me pregunto si esto podría ser una respuesta para la pregunta propuesta por el profesor Lebruyn.
Más comentarios: De hecho, en 1962, Gabriel presentó el espectro inyectivo para la categoría abeliana en sus disertaciones Categorías abelianas y un buen documento de revisión para este tema es espectro inyectivo de espacios no conmutativos . H,Krause y C.Weibel también dieron una definición de espectro de la categoría localmente coherente Más recientemente, Rosenberg ha publicado varios artículos en la serie de preimpresos de Max Plank que introducen el espectro vairous para la categoría abeliana, la categoría triangulada y la categoría exacta (algunas de ellas se definen en su libro) con un sabor más categórico. espectros del espacio no conmutativo , Espacio subyacente del esquema no conmutativo En particular, P.Balmer ha definido espectro para la categoría tensorial triangulada
De hecho, revisé algunos de los problemas de la teoría del esquema Chater II en Hartshorne utilizando la máquina de Kontsevich-Rosenberg. Tengo que notar, que lo que debes tratar es probablemente la categoría de módulos sobre anillos no conmutativos. En la geometría algebraica no conmutativa, esto es sólo la categoría de gavillas cuasi coherentes sobre esquemas afines no conmutativos. Pero no me limité al caso de los anillos no conmutativos. Intento hacerlo en un esquema general no conmutativo, por ejemplo una categoría de Grothendieck o una categoría abeliana. Me he dado cuenta de que se puede tomar la categoría de Grothendieck como una categoría de gavillas cuasi coherentes en un "esquema cuasi compacto y cuasi separado". Así que uno debería considerar la categoría de la categoría de Grothendieck como la categoría de "espacio" y el morfismo entre espacios como la clase iso del functor de imagen inversa. Rosenberg desarrolló la geometría algebraica en esta categoría 2. Introdujo varios espectros para varios destinos. Debo mencionar que los espectros para la categoría abeliana en su sentido coinciden con el espectro primo de un anillo conmutativo cuando se toma la categoría de módulo sobre el anillo conmutativo. De hecho, se puede definir la topología de Zariski en esta categoría de 2 utilizando una familia de funtores de localización conservadora (fiel) exacta (subcategoría de Serre en lenguaje dual). Luego se puede introducir la topología asociada en el espectro de la categoría abeliana. Luego se puede seguir introduciendo la "fibra" en cada punto del espectro como pila de la categoría local (como categoría fibrosa) Esto se llama realización geométrica de una categoría abeliana o categoría de Grothendieck. A continuación, se puede tomar la categoría de las láminas casi coherentes en esta categoría fibrosa. Por último, obtenemos el teorema de reconstrucción para el esquema no concomitante. Si tomamos la categoría original como tramas cuasi coherentes de un esquema conmutativo cuasi compacto (o no en general). Entonces obtenemos el teorema de reconstrucción para el esquema conmutativo, lo que significa que la geometría algebraica conmutativa puede estar totalmente integrada en la geometría algebraica no conmutativa.
A partir de este teorema de "justificación", podemos desarrollar varias nociones correspondientes a la geometría algebraica conmutativa. Se puede definir el esquema afín no conmutativo (puede verse como una categoría con cogenerador proyectivo, entonces por el teorema de Gabriel, equivalente a una categoría de módulos). También se puede definir el morfismo afín, la inmersión/coinmersión abierta/cerrada (para la motivación de la teoría de la representación) el grupo de Picard, los haces vectoriales
También se pueden definir operadores diferenciales en la categoría abeliana, la categoría monoidal (para la motivación de la teoría de la representación del grupo cuántico y la matemática física), en particular, los módulos D no conmutativos en el espacio no conmutativo, en particular el módulo D cuántico en la variedad bandera cuantizada. (Creo que esto está relacionado con el problema mencionado por siegels).
Como es bien sabido por todos, el marco de Beilinson Bernstein que apunta a la teoría de la representación vive en la categoría triangulada. En realidad, hay todo un cuadro abeliano desarrollado principalmente por Rosenberg y Lunts-Rosenberg-Tanisaki más tarde.
De hecho, para la mayoría (creo que deberían ser todos) de los problemas de Hartshorne (hechos en geometría algebraica conmutativa) hay una versión correspondiente en geometría algebraica no conmutativa (en particular, lo que has mencionado, el anillo no conmutativo)
Efectivamente, hay una teoría de descenso plano no conmutativo en el trabajo de Konstevich-Rosenberg. Creo que el nombre más preciso debería ser teoría de descenso plano categórico (teorema de Beck)
Un comentario más: Lo que mencioné arriba es UN marco que desarrollaron (principalmente para la teoría de la representación). Hay OTRO marco introducido por ellos basado en el punto de vista de presheave (propuesto por Gabriel-Grothendieck). Ellos desarrollan la geometría algebraica en este punto de vista que no es equivalente a la GEOMETRÍA CATEGÓRICA que mencioné anteriormente en general. La motivación principal para este punto de vista es de Konstevich, que quería considerar el grassmannian no conmutativo que podría ser útil en la comprensión de la teoría M en la física. En esta dirección, definen el espacio algebraico no conmutativo, la pila (DM y Artin), etc.
último comentario: Un hombre mencionó que la categoría de anillos no tiene una buena propiedad como las conmutativas, pero supongo que esto no es un gran problema. Rosenberg definió la llamada categoría exacta correcta (digamos categoría de anillos, categoría de esquemas afines, categoría de haces vectoriales). Desarrolló todo el álgebra homológica en este entorno y la teoría universal de k algebraica, los ciclos algebraicos, el grupo chow, etc.
Siento tener que volver al trabajo en lugar de escribir aquí. Hay varias geometrías algebraicas no conmutadas. Si se trata de un esquema proyectivo, podría interesarle el trabajo de la Escuela de Artin sobre la geometría proyectiva NC
Varios comentarios más: tenemos la noción de categoría localmente noetheriana cuyos objetos son generados por objetos noetherianos. Por ejemplo, la categoría de las láminas casi coherentes en un esquema conmutativo noetheriano es una categoría localmente noetheriana. Entonces podemos obtener la geometría algebraica conmutativa completa del esquema noetheriano
Otro enfoque de la geometría algebraica no conmutativa se resume en la filosofía
"una variedad no conmutativa debe ser pensada enteramente en términos de la categoría derivada correspondiente de láminas coherentes"
De esta manera podemos estudiar la geometría no conmutativa estudiando la categoría derivada acotada de la categoría de módulos finitamente generados sobre un álgebra. De esta manera podemos introducir clases interesantes de álgebras correspondientes a clases interesantes de espacios conmutativos. Por ejemplo, un álgebra $A$ se llama d Calabi-Yau si el d-ésimo desplazamiento en $D^b(A)$ es un functor de Serre, esto corresponde entonces a las variedades CY abiertas.
Esto se puede extender a las álgebras DG y $A_{\infty}$ álgebras.
Un documento muy agradable que cubre estas álgebras, y por lo tanto en cierta medida este punto de vista de la geometría algebraica no conmutativa es el documento Álgebras de Calabi-Yau por Ginzburg.
Rosenberg y Kontsevich publicarán próximamente libros de tres volúmenes. Tengo el segundo borrador de estos libros que Rosenberg ya nos ha enseñado. En el prefacio del primer volumen de estos libros hay unas observaciones históricas. Lo he publicado aquí:
Observaciones históricas sobre la geometría algebraica no conmutativa I
Observaciones históricas sobre la geometría algebraica no conmutativa II
Observaciones históricas sobre la geometría algebraica no conmutativa III
Observaciones históricas sobre la geometría algebraica no conmutativa IV
Observaciones históricas sobre la geometría algebraica no conmutativa V
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
