Supongamos que intento tomar el capítulo II de Hartshorne y rehacerlo todo con anillos no conmutativos en lugar de anillos conmutativos. ¿Es esto posible? ¿Qué partes funcionan en el entorno no conmutativo y cuáles no?
Editar: También agradezco cualquier comentario/referencia sobre cualquier noción razonable de "geometría algebraica no conmutativa".
Creo que es útil recordar que hay diferencias básicas entre las configuraciones conmutativas y no conmutativas, que no pueden ser eliminadas sólo por dispositivos técnicos.
En un nivel básico, los operadores conmutados en un espacio vectorial de dimensión finita pueden ser diagonalizados simultáneamente [añadido: técnicamente, debería decir triangularizados superiormente, pero no me preocupe por esta distinción aquí], pero esto no es cierto para los operadores no conmutantes. Esto ya sugiere que no se puede definir de forma ingenua el espectro de un anillo no conmutativo. (Recordemos que todos los anillos son moralmente anillos de operadores, y que el espectro de un anillo conmutativo tiene el mismo significado que el espectro [añadido: simultáneo] de una colección de operadores conmutativos).
En un nivel superior, supongamos que $M$ y $N$ son módulos generados finitamente sobre a anillo conmutativo $A$ tal que $M\otimes_A N = 0$ entonces $Tor_i^A(M,N) = 0$ para todos los $i$ . Si $A$ es no conmutativo, esto ya no es cierto en general. Esto refleja el hecho de que que $M$ y $N$ ya no tienen soportes bien definidos en algún espectro concreto de $A$ . Por eso la localización no es posible (al menos en cualquier sentido ingenuo) en general en el entorno no conmutativo. Es el mismo fenómeno que el principio de incertidumbre en la mecánica cuántica, y se manifiesta de la misma manera: los objetos no pueden ser localizados en puntos en el entorno no conmutativo.
Se trata de auténticas complejidades que hay que afrontar en cualquier estudio de la geometría no conmutativa. Son las mismas a las que se enfrentan los estudiantes principiantes cuando descubren por primera vez que en general las matrices no conmutan. Yo diría que son reales, fascinantes y difíciles, y la gente ha puesto, y está poniendo, mucho esfuerzo en comprenderlas. Pero está muy lejos de limitarse a generalizar las afirmaciones de Hartshorne.
Hay dos problemas importantes al extender el capítulo 2 de Hartshorne al caso no conmutativo.
La primera es una buena definición de un espacio topológico y una gavilla de estructura sobre él, de modo que se recupera el anillo de nuevo como sus secciones globales.
El segundo es el fracaso de la funtorialidad.
Se han hecho varias propuestas para una gavilla de estructura no conmutativa. Como espacio topológico se ha tomado el conjunto de todos los ideales primos de dos caras o el espacio de funtores de torsión primos. En los ideales primos se han definido algunas gavillas de anillos mediante localizaciones simétricas o bimodulares de manera que se recupera el anillo como las secciones globales (al menos en el caso noetheriano). En el espacio de torsión primo esto falla.
Sin embargo, un ringmorfismo A-->B no induce, en general, un mapa sobre los ideales primos de dos caras (las excepciones notables son las extensiones centrales de Procesi, que explican por qué la funcionalidad no es un problema en el caso conmutativo).
Es sobre todo el fracaso de la funtorialidad lo que ha llevado a algunas personas a DEFINIR Mod(A) como las "gavillas de módulos coherentes sobre un espacio inexistente asociado a A". Evidentemente, cualquier ringmorfismo A-->B define un functor Mod(B)-->Mod(A). Mientras uno esté interesado en las propiedades homológicas/geométricas, las cosas pueden extenderse al mundo no conmutativo. Algunos podrían argumentar que en esta propuesta uno está haciendo teoría de la categoría en lugar de geometría, fallando un espacio topológico y estructuras de gavillas.
Supongo que hoy en día hay cierto consenso en que NO existe una ÚNICA "geometría no conmutativa" adecuada para todas las álgebras no conmutativas. Es decir, dependiendo de la clase de álgebras que se esté investigando, se pueden considerar otros espacios/tramas. Por ejemplo, para anillos PI (aproximadamente anillos finitos sobre su centro) se puede ir muy lejos definiendo todo sobre el esquema central o considerando espacios de moduli de representaciones de dimensión finita. Por otro lado, para anillos filtrados con un anillo conmutativo graduado asociado, podría ser más fructífero tomar gavillas de microlocalizaciones. etc., etc.
En los años 70 se intentó acercarse al máximo a Hartshorne, por lo que si se quiere utilizar algo de ello, un buen punto de partida podrían ser los libros (muchos en la serie de monografías de Dekker o en la LNM de Springer) de Golan (teorías de torsión de primos), Van Oystaeyen et at (ideales de primos) o Procesi (PI-algebras y GIT).
La respuesta corta es que si trataras de hacerlo, te meterías en muchos problemas (matemáticos). Hubo una serie de trabajos y preprints de Alexander Rosenberg dedicados a este problema, con títulos como "Noncommutative affine schemes", "Noncommutative local algebra", "Noncommutative globalization", "Noncommutative schemes", etc., algunos de ellos aparentemente todavía inéditos (por razones que desconozco). Esto culminó en el artículo "Noncommutative smooth spaces", de Kontsevich y Rosenberg, que se puede consultar en el arXiv . Apenas quedaron rastros de la exposición del capítulo II de Hartshorne en este enfoque final.
Uno de los grandes problemas con los que se encuentra es la localización. No todos los anillos pueden ser localizados. Es casi seguro que tendrá que limitarse a los anillos que satisfagan el Condiciones del mineral . Sin embargo, muchos anillos naturales sí las satisfacen, por ejemplo, los anillos "casi conmutativos". Se trata de anillos filtrados cuyo anillo graduado asociado es conmutativo. Entre los anillos de esta forma se encuentra el anillo de operadores diferenciales lineales sobre un subconjunto abierto de una variedad, y la localización funciona, por lo que se obtiene una gavilla, y se pueden mirar los módulos, etc, se llaman módulos-D.
Pero de todos modos, las primeras cosas que hay que hacer son decidir una clase de anillos en los que se pueda localizar (o si no se puede, realmente hay que rehacer las cosas desde la base), y luego hay que decidir si se está mirando a la izquierda, a la derecha o a los bimódulos, incluyendo si se va a mirar a los ideales primos de izquierda/derecha/dos lados, etc.
ADVERTENCIA: No soy un experto en AG no conmutativo, sólo conozco algunos lugares donde las cosas estándar en AG conmutativo se rompen un poco.
El problema es que la categoría de anillos (no necesariamente conmutativos) no tiene todas las buenas propiedades de la categoría de anillos conmutativos. El primer obstáculo, y el más obvio, surge cuando se intenta definir el espectro, ya que hay tres opciones válidas para los ideales primos (izquierda, derecha o dos lados); eligiendo ideales de dos lados se podría definir la topología de Zariski sin problemas, pero normalmente los anillos no conmutativos no tienen suficientes ideales primos de dos lados para que el espectro no conmutativo sea interesante. Entre otras cosas, en general no es posible reconstruir el anillo a partir del espectro. Como alguien me dijo una vez "no importa cómo definas un punto en un espacio no conmutativo, nunca hay suficientes".
A nivel de localización surgen problemas más sutiles, por un lado hay que imponer las condiciones de Ore, pero incluso para los anillos que las satisfacen sigue existiendo el problema de que para los anillos no conmutativos los funtores de localización no conmutan entre sí. A finales de los setenta y principios de los ochenta (en lo que podría llamarse el origen de la geometría algebraica no conmutativa), Fred Van Oystaeyen dio un posible rodeo a este problema, sustituyendo principalmente la noción ingenua de espectro primo por otras más sutiles (espectro de torsión, espectro de localización). Un resumen más reciente de estos puntos de vista y sus desarrollos se encuentra en el libro de Van Oystaeyen Geometría algebraica para álgebras asociativas .
Editar: Tras la aclaración de Kevin, se puede encontrar un buen estudio sobre la historia y los diferentes enfoques de la geometría algebraica no conmutativa en la entrada geometría algebraica no conmutativa en nLab.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
