¿Por qué las clases de Todd aparecen en la fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch?

Question

Supongamos que por alguna razón uno esperaría una fórmula del tipo

$$\mathop{\text{ch}}(f_!\mathcal F)\ =\ f_*(\mathop{\text{ch}}(\mathcal F)\cdot t_f)$$

válida en $H^*(Y)$ donde

• $f:X\to Y$ es un morfismo propio con $X$ e $Y$ suaves y cuasiproyectivos,
• $\mathcal F\in D^b(X)$ es un complejo acotado de haces coherentes en $X$,
• $f_!: D^b(X)\to D^b(Y)$ es el pushforward derivado,
• $\text{ch}:D^b(-)\to H^*(-)$ denota el carácter de Chern,
• y $t_f$ es una clase de cohomología que depende solo de $f$ pero no de $\mathcal F$.

De acuerdo con el teorema de Grothendieck–Hirzebruch–Riemann–Roch (¿lo entendí bien?) esta fórmula es verdadera con $t_f$ siendo la clase de Todd relativa de $f$, definida como la clase de Todd del fibrado tangente relativo $T_f$.

Entonces, vamos a "adivinar" el $t_f$ pretendiendo que no conocíamos GHRR ($t_f$ no está definido de forma única, así que añade condiciones sobre $t_f$ si es necesario).

Pregunta. Esperando la fórmula del tipo anterior, ¿cómo descubrir que $t_f = \text{td}\, T_f$?

No es necesario demostrar que esta elección funciona (es decir, demostrar GHRR), pero debes mostrar que ninguna otra elección funciona. Además, no usemos Hirzebruch–Riemann–Roch: tengo curiosidad exactamente cómo y dónde aparecerán las clases de Todd.

Answer 1

Al observar el caso en que $X=D$ es un divisor de Cartier en $Y$ (por lo que el haz tangente relativo - como un elemento del grupo K - es el haz normal $\mathcal N_{D/X}=\mathcal O_D(D)$ (convenientemente un haz de líneas, por lo que es su propia raíz de Chern), y $\mathcal F=\mathcal O_D$. Y la clase de Todd aparece de inmediato.

De hecho, a partir de la sucesión exacta $0\to \mathcal O_Y(-D) \to \mathcal O_Y\to \mathcal O_D\to 0$, obtienes que $$ch(f_! \mathcal O_D)=ch(O_Y(D))= ch(\mathcal O_Y) - ch(\mathcal O_Y(-D)) = 1- e^{-D}.$$ Y necesitas comparar esto con el empuje hacia adelante de $[D]$ en el grupo de Chow, que es $D$. La razón $$\frac{D}{1-e^{-D}} = Td( \mathcal O(D) )$$ es lo que estás buscando. Ahora acabas de descubrir la clase de Todd. Sospecho que así es como Grothendieck descubrió su fórmula también - después de ver que este caso coincide con la fórmula de Hirzebruch, que la misma clase de Todd aparece en ambos casos.

Answer 2

Sí, tienes razón! De hecho, puedes probar que la clase Todd es la única clase de cohomología que satisface una fórmula de tipo GRR.

De hecho, supongamos que para cualquier variedad cuasiprojectiva suave $X$, tienes una clase de cohomología invertible $\alpha(X)$ que satisface lo siguiente:

(i) para cualquier morfismo propio $f \colon X \rightarrow Y$ entre morfismos cuasiproyectivos suaves y para cualquier complejo acotado $\mathcal{F}$ de haces coherentes en $X$, $f_{*}(ch(\mathcal{F})\alpha(X))=ch(f_{!}\mathcal{F})\alpha(Y).

(ii) para cualquier $X$ e $Y$, $\alpha(X \times Y)=pr_1^*\alpha(X) \otimes pr_2^*\alpha(Y)$ (esto es una especie de condición de compatibilidad de cambio de base).

Entonces, para cualquier $X$, $\alpha(X)$ es la clase Todd de $X. De hecho, es suficiente saber (i) para inclusiones cerradas y (ii) para$X = Y.

Aquí hay una demostración rápida:

1-Primero pruebas GRR para inclusiones arbitrarias. Esto se hace en dos pasos:

(a) $Y$ es un fibrado vectorial sobre $X$ y $f$ es la inclusión de $X$ en $Y$, donde $X$ se identifica con la sección cero de $Y$. Luego, $\mathcal{O}_X$ admite una resolución libre natural en $Y$ que es la resolución de Koszul. Luego, un cálculo directo te muestra que $ch(\mathcal{O}_X)$ es la clase Todd de $E^*$, que es por lo tanto la clase Todd del fibrado normal conormal $N^*_{X/Y}$. Así que la clase Todd surge de este cálculo al igual que en el caso del divisor.

(b) Para una inclusión cerrada arbitraria $f \colon X \rightarrow Y$, una técnica de deformación estándar (llamada deformación al cono normal) permite deformar $f$ a la inclusión de $X$ en su fibrado normal en $Y$, y luego usar la parte (a).

2- Luego comparas las dos fórmulas GRR que tienes para la inyección diagonal $\delta$ de $X$ en $X \times X: la de las clases Todd y la de las clases alfa. Esto te da la identidad$\delta_* (td(X) \delta^* td(X \times X)^{-1}) = \delta_* (\alpha(X) \delta^* \alpha(X \times X)^{-1}), por lo que $\delta_* td(X)^{-1} = \delta_* \alpha(X)^{-1}

. Luego obtienes $\alpha(X)=td(X)$ aplicando $pr_1*$.

Answer 3

Aquí hay otra verificación de cordura. Considere el mapa $f$ de $X$ a un punto. La característica (topológica) de Euler de $X$ es $$\sum (-1)^k h^k(X) = \sum (-1)^{p+q} h^{pq}(X) = \sum (-1)^{p+q} h^q(X, \Omega^p) = \sum (-1)^p f_{!} \Omega^p.$$

Si las raíces de Chern del fibrado tangente son $r_1$, $r_2$, ... $r_n$, entonces el carácter de Chern de $\Omega^p$ es $e_p(e^{-r_1}, e^{-r_2}, \ldots, e^{-r_n})$, donde $e_p$ es la función simétrica elemental de orden $p$.

Entonces, la característica de Euler de $X$ es $$\sum (-1)^p f_* \left( e_p(e^{-r_1}, e^{-r_2}, \ldots, e^{-r_n}) t_f \right) = f_* \left( \prod(1-e^{-r_i}) t_f \right).$$

Ahora, ¿qué clase $u$ tiene la propiedad de que $f_*(u)$ sea la característica de Euler de $X$? La clase de Chern superior de $T_X$, en otras palabras, $\prod r_i$. Por lo tanto, parece muy probable que debamos tener $$\prod(1-e^{-r_i}) t_f= \prod r_i$$ y $$t_f = \prod \frac{r_i}{1-e^{-r_i}}.$$

Eso no es una prueba, porque hay otras clases con el mismo empuje hacia adelante y porque $\prod(1-e^{-r_i})$ es un divisor de cero, pero encuentro que es persuasivo.

Answer 4

Una respuesta conceptual a "exactamente cómo y dónde aparecerán las clases Todd:" No es necesario utilizar clases Todd si te atienes a la homología de Hochschild. Esto podría no ser la mejor referencia, pero aprendí esto del 1.2.1 en https://arxiv.org/pdf/1804.00879.pdf Puedes quedarte solo con el carácter de Chern y factorizar a través de HH(Perf(X)); la clase Todd corrige el hecho de que las isomorfismos HKR $HH(Perf(X)) \simeq H^*(X, \bigoplus \Omega_X^p)$ no son naturales en $X$ hasta la corrección por Todd.

Mis disculpas - Estoy seguro de que hay una referencia más accesible de la cual no estoy al tanto.