Origen de la ec. 5.141 en el libro de Di francesco teoría del campo conforme

Question

Recientemente estoy leyendo el libro de Philippe Francesco: Teoría de campos conformes . En realidad, tengo problemas para entender el origen de la parte inicial de la siguiente ecuación:

$$\left\langle T^{00}\right\rangle =\left\langle T_{zz}\right\rangle +\left\langle T_{\overline{z}\overline{z}}\right\rangle .\tag{5.141} $$

También me gustaría saber qué métrica contravariante es necesario utilizar en este caso especial.

Estaré muy agradecido por su gran ayuda.

Answer 1

Las coordenadas complejas se definen por: $$ \partial_z=\frac {1}{2}(\partial_0-i\partial_1)\,,\,\,\,\,\,\, \partial_{\bar {z}}=\frac {1}{2}(\partial_0+i\partial_1). $$ $$ dz=dz^0+idz^1\,,\,\,\,\,\,\, d\bar{z}=dz^0-idz^1 $$ Una buena manera de ver cómo se transforman los tensores bajo el cambio de coordenadas es mediante la identificación: $$ T^{ab}=T^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}\partial_{\beta} $$ $$ T_{ab}=T_{\alpha\beta}dz^{\alpha}dz^{\beta} $$ Entonces $$ T_{00}dz^0dz^0+T_{01}dz^0dz^1+T^{10}dz^1dz^0+T^{11}dz^1dz^1=\\=T_{00}dz^0dz^0+...+T^{11}dz^1dz^1=T_{00}(dz^0dz^0-dz^1dz^1)+...=\\=\frac{1}{2}T_{00}(dzdz+d\bar {z}d\bar {z})+...\,\,\,\,\, $$ En la segunda línea utilizamos el hecho de que el tensor energía-momento no tiene traza. En la tercera línea utilizamos el hecho de que la combinación simétrica del producto de $dzdz$ y $d\bar{z}d\bar{z}$ da la diferencia entre $dz^0dz^0$ y $dz^1dz^1$ .

El tensor en $z$ -coordenadas, debido a la condición de no trazabilidad, tienen $T_{z\bar{z}}=T_{\bar{z}z}=0$ y

$$ T_{ab}=T_{zz}dzdz+T_{\bar{z}\bar{z}}d\bar{z}d\bar{z}=\\=\frac{(T_{zz}+T_{\bar{z}\bar{z}})}{2}(dzdz+d\bar{z}d\bar{z})+\frac{(T_{zz}-T_{\bar{z}\bar{z}})}{2}(dzdz-d\bar{z}d\bar{z}) $$ Porque $(dzdz-d\bar{z}d\bar{z})$ y $(dzdz+d\bar{z}d\bar{z})$ son derivadas lineales independientes, y $T_{00}=T^{00}$ entonces: $$ T^{00}=T_{zz}+T_{\bar{z}\bar{z}} $$

Para calcular el tensor métrico haz lo mismo. Expresa el tensor en términos de combinación lineal de derivadas parciales o diferenciales y expresa las antiguas derivadas y diferenciales en términos de las nuevas.