Orden de los cuantificadores lógicos

Question

Así que para la definición de un inverso tengo: "Existe $e$ perteneciente a $G$ tal que para todo $x$ perteneciente a $G$ , $x*e=e*x=x$ "

Soy consciente de que el orden de los cuantificadores importa, pero no veo en qué se diferencia lo anterior:

"Para todos $x$ perteneciente a $G$ existe $e$ perteneciente a $G$ tal que $x*e=e*x=x$ "

Answer 1

Considere cualquier $G$ con al menos dos elementos y definir $a*b=a$ . Entonces, para todos los $x\in G$ existe $e\in G$ (A saber, $e=x$ ) tal que $x*e=e*x=x$ . Sin embargo, no hay $e\in G$ tal que para todo $x\in G$ tenemos $e*x=x$ (porque $e*x=e$ )

Answer 2

La primera afirma que para todos los $x$ hay un elemento $e$ satisfaciendo esa condición pero la Segunda está diciendo que cualquier $x$ tiene su propia $e$ con esa propiedad. Estas dos se pueden averiguar a través de las definiciones de Continuidad y Continiuty Uniformy también: $$\forall x \in I \, \exists \delta > 0\, \forall y \in I \, ( \, |y-x|<\delta \, \Rightarrow \, |f(y)-f(x)|<\varepsilon,$$ $$\, \forall \varepsilon > 0\, \exists \delta > 0\, \forall x \in I\, \forall y \in I\, ( \, |y-x|<\delta \, \Rightarrow \, |f(y)-f(x)|<\varepsilon$$

Answer 3

En realidad ha definido un elemento de identidad no un inverso.

De todos modos, en tu segundo caso, estás diciendo que la elección de $e$ depende de la elección de $x$ por lo que la identidad no es única. La primera dice que se puede encontrar un $e$ para el que cualquier $x$ dará lugar a $xe = ex = x$ . Este $e$ funciona para cualquier opción de $x \in G.$

Answer 4

Por ejemplo, consideremos el conjunto $G=\{a,b,c\}$ con $x*y=y$ para todos $x,y\in G$ .

Probemos primero el axioma de grupo:

Existe un $e\in G$ tal que para todo $x\in G$ , $x∗e=e∗x=x$

Así que vamos a comprobarlo:

• ¿Podría ser que $e=a$ ? No, porque $a*b=b\ne a$ .
• ¿Podría ser que $e=b$ ? No, porque $a*c=c\ne a$ .
• ¿Podría ser que $e=c$ ? No, porque $c*a=a\ne c$ .

Así que no importa qué elemento elijamos para $e$ la condición no se cumple para todos $x$ por lo que el axioma es no cumplido por mi ejemplo.

Ahora vamos a comprobar su alternativa:

Para todos $x\in G$ existe un $e\in G$ tal que $x∗e=e∗x=x$

Así que tenemos que comprobar todos $x\in G$ .

• Para $x=a$ existe un $e$ , a saber $e=a$ , como $a*a=a*a=a$ .
• Para $x=b$ existe un $e$ , a saber $e=b$ , como $b*b=b*b=b$ .
• Para $x=c$ existe un $e$ , a saber $e=c$ , como $c*c=c*c=c$ .

Así que su axioma alternativo es cumplido por mi ejemplo.

Espero que este ejemplo aclare la diferencia entre ambas afirmaciones.