Encontrar el vector de un subespacio dado

Question

Dado el subespacio descrito por esos tres vectores:

$W=lin([1, 0, 2, 4], [0, 1, 2, 3], [0, 1, 0, 1] ) $ Ahora quiero recoger cualquier vector que se encuentre en este subespacio. ¿Cómo debo hacerlo?

Answer 1

Definición: El casco lineal / span de un conjunto $S$ de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales (finitas) de los vectores del conjunto.

Así que, por definición, cualquier vector $v$ en el subespacio $\operatorname{lin}\left( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 &4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 &3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 &1 \end{bmatrix}\right)$ puede escribirse como una combinación lineal de los $3$ vectores. Es decir:

$$v=\alpha\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 &4 \end{bmatrix} + \beta\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 &3 \end{bmatrix} +\gamma\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 &1 \end{bmatrix}$$

donde $\alpha, \beta, \gamma$ son números reales. Así que elige tus tres números favoritos, introdúcelos en lo anterior y suma.