Operadores de multiplicación

Question

Consideremos un álgebra de Banach conmutativa $A$ y el álgebra de Banach de operadores acotados $B(A)$ en $A$ . Asociar a cada $a\in A$ el operador de multiplicación $T_ax =ax$ ( $x\in A$ ). Es siempre el mapeo $\varphi(a)=T_a$ , $\varphi\colon A\to B(A)$ ¿un homormorfismo de álgebra continua? ¿Y si $A$ no es conmutativo?

Answer 1

Desde $\|T_a x\| \le \|a \| \|x\|$ tenemos $\|T_a\| \le \|a\|$ por lo que es continua. Que sea un homomorfismo es fácil. Incluso si $A$ no es conmutativo, ya que $T_{ab} x = abx = T_a T_b x$ es un homomorfismo.

Answer 2

Sí, es un homomorfismo: toma $x,a,b\in A$ . Entonces $$T_{a\cdot b}(x)=(ab)x=a(bx)=T_a(bx)=T_a(T_b(x)),$$ por lo que $T_{a\cdot b}=T_a\circ T_b$ et $\varphi(ab)=\varphi(a)\circ \varphi(b)$ . También tenemos $$\varphi(a+b)(x)=(a+b)\cdot x=ax+bx=\varphi(a)(x)+\varphi(b)(x),$$ y $\varphi(e)=Id$ .

Es continuo, como $$\lVert T_a-T_b\rVert_{B(A)}=\sup_{\lVert x\rVert=1}\lVert T_ax-T_bx\rVert=\sup_{\lVert x\rVert=1}\lVert ax-bx\rVert\leq \lVert a-b\rVert.$$

Todo esto se ha hecho sin asumir que $A$ es conmutativo.