Variación de $\frac{x_i}{\sum_{i=1}^nx_i}$ cuando $x_1,\ldots,x_n$ son variables aleatorias iid

Question

Supongamos que $x_1,\ldots,x_n$ son variables aleatorias iid con varianzas finitas. ¿Es la varianza de $z_i=\frac{x_i}{\sum_{i=1}^nx_i}$ en función de $n$ ¿sólo? Me interesan dos casos. Caso 1: la varianza de $x_i$ es cero. Caso 2: la varianza de $x_i$ es distinto de cero.

Sé que la expectativa es $\frac{1}{n}$ porque $\sum_{i=1}^nz_i=1$ para que ambos $\sum_{i=1}^nE(z_i)=nE(z_i)$ et $\sum_{i=1}^nE(z_i)=E(\sum_{i=1}^nz_i)=1$ . Para encontrar la varianza $V(z_i)$ querríamos encontrar $E(z_i^2)$ y podríamos hacerlo encontrando $E(\sum_{i=1}^nz_i^2)=E(\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2}{(\sum_{i=1}^nx_i)^2})$ .

Answer 1

Como se aclara en los comentarios, la cuestión es si la varianza está en función de $n$ sólo o depende de la distribución.

Depende de la distribución. La varianza de $z_i$ es cero o no según la varianza del $x_i$ es cero o no.

Para un caso un poco más interesante, considere $x_i$ distribuido uniformemente en $\{a,b\}$ . Entonces $z_i$ toma el valor $\frac12$ con probabilidad $\frac12$ y los valores $\frac a{a+b}$ et $\frac b{a+b}$ con probabilidades $\frac14$ cada uno, por lo que la varianza es

$$ \frac14\left(0+0+\left(\frac a{a+b}-\frac12\right)^2+\left(\frac b{a+b}-\frac12\right)^2\right)=\frac18-\frac{ab}{2(a+b)^2}\;, $$

que depende de $a$ et $b$ y, por tanto, en la distribución.