Encontrar la intersección de dos líneas. ¿Qué estoy haciendo mal?

Question

Pregunta

1. Determina si el par de rectas son paralelas y de intersección:

$$ r_1 = \langle -1, 0 , 1 \rangle + \lambda \langle 1, 3, 4\rangle$$ $$ r_2 = \langle2, 3, 0\rangle + \mu \langle4, -1, 1\rangle$$

Escribiendo estas ecuaciones en forma paramétrica me da: $$r_1 : $$ $$ x = -1 + \lambda$$ $$ y = 3 \lambda$$ $$ z = 1 + 4 \lambda$$

$$r_2 :$$ $$ x = 2 + 4 \mu$$ $$ y = 3 - \mu$$ $$ z = \mu $$

Cuando resuelvo esta ecuación obtengo muchas soluciones que no tienen sentido. Pero tampoco creo que estas líneas sean paralelas. ¿Lo estoy haciendo mal?

1. Dos líneas tienen ecuaciones vectoriales:

$$ r = 4 \mathbf i + 5 \mathbf j + 6 \mathbf k + t (\mathbf i + 2 \mathbf j + 2 \mathbf k) $$ y $$ r = -3 \mathbf i + 3 \mathbf j - 8 \mathbf k + t (3 \mathbf i + 2 \mathbf j + 6 \mathbf k) $$

Cuando lo paso a forma paramétrica obtengo: $$ 4 + 2t = -3 + 3t$$ $$ 5 + 2t = 3 + 2t$$ $$ 6 + 2t = -8 + 6t$$

Que es una ecuación irresoluble. ¿Qué estoy haciendo tan terriblemente mal?

Son dos casos en los que parece que no puedo resolver este tipo de problemas y me pregunto qué estoy haciendo mal porque esta es una pregunta de 2º de Bachillerato, pero he perdido todo ese cableado en mi cabeza.

Answer 1

En tres dimensiones o más, un par de líneas podría intersecarse, podría ser paralelo (o coincidir, un caso especial de paralelo), o podría ser inclinación . Estas dos líneas parecen estar torcidas. La forma más fácil de demostrarlo es intentar resolver el sistema de tres ecuaciones en dos variables:

$$\begin{eqnarray*} -1 + \lambda &=& 2 + 4\mu\\ 3\lambda &=& 3 - \mu \\ 1 + 4\lambda &=& \mu \end{eqnarray*} $$

El sistema es inconsistente (no tiene solución), por lo tanto las líneas no se cruzan. Y sabemos que las líneas no son paralelas porque los vectores de dirección $\langle 1, 3, 4 \rangle$ et $\langle 4, -1, 1\rangle$ no se encuentran en la misma línea.

Answer 2

No está claro dónde te quedas, pero lo que quieres hacer para el primer problema es establecer las ecuaciones para $x$ , $y$ y $z$ en $\lambda$ et $\mu$ iguales entre sí, obteniendo tres ecuaciones en dos incógnitas:

$$\begin{align} -1+\lambda &= 2+4\mu\cr 3\lambda &= 3-\mu\cr 1+4\lambda &= \mu\cr \end{align}$$

Normalmente no se espera ninguna solución cuando hay más ecuaciones que incógnitas.

En cuanto al segundo problema, tu error parece estar en pensar que ambas líneas están necesariamente descritas por el mismo parámetro, $t$ . En efecto, estás parametrizando las dos líneas como si cada una fuera trazada por una partícula en movimiento, y al establecer las parametrizaciones iguales, estás comprobando si las partículas colisionan. Pero dos trayectorias pueden cruzarse sin que se produzca una colisión: piensa en los coches que pasan en momentos diferentes por una intersección. Para ver que este segundo problema es similar al primero, cambie el parámetro de una línea $t$ a $\lambda$ y el otro $t$ a $\mu$ y luego proceder como en el caso anterior.