Contracción de la segunda identidad de Bianchi

Question

La segunda identidad de Bianchi es $${R^a}_{b[cd;e]}=0$$

Y contratarlo con respecto a $a$ y $e$ obtenemos $${R^a}_{b[cd;a]}=0 \Leftrightarrow $$ $${R^a}_{bcd;a}+R_{bc;d}-R_{bd;c}=0$$

Lo que no entiendo es por qué el tercer término tiene el signo menos.

Answer 1

Se trata simplemente de recordar las simetrías (sesgadas) del tensor de curvatura de Riemann. Tenemos que \begin{align} 3! \cdot R^a_{\phantom{a}b[cd;a]} & = R^a_{\phantom{a}bcd;a} - R^a_{\phantom{a}bdc;a} + R^a_{\phantom{a}bda;c} - R^a_{\phantom{a}bca;d} + R^a_{\phantom{a}bac;d} - R^a_{\phantom{a}bad;c} \\ & = 2R^a_{\phantom{a}bcd;a} - 2R^a_{\phantom{a}bad;c} + 2R^a_{\phantom{a}bac;d} \tag{$\ast$} \\ & = 2R^a_{\phantom{a}bcd;a} - 2R_{bd;c} + 2R_{bc;d}. \tag{$\ast\ast$} \end{align} Para conseguir $(\ast)$ Utilicé la simetría de sesgo del tensor de curvatura de Riemann en sus dos últimos índices tres veces: $$R^a_{\phantom{a}bcd} = - R^a_{\phantom{a}bdc}.$$ Para conseguir $(\ast\ast)$ He utilizado la definición de la curvatura de Ricci: $$R_{bd} = R^a_{\phantom{a}bad}.$$ Obsérvese que contraemos con el segundo índice de la parte inferior para obtener la curvatura de Ricci.