Cuáles son los campos tales que $x^4 = 1$ por cada $x$ en el grupo multiplicativo

Question

Cuáles son los campos $K$ tal que $x^4 = 1$ por cada $x \in K^{\ast}$ es decir, que cada elemento del grupo multiplicativo es una raíz de $x^4 - 1$ ? Por supuesto, los campos finitos de orden $3$ y $5$ son ejemplos, pero ¿son los únicos?

Si $K$ es finito, entonces $K^{\ast}$ es cíclica, por lo que la ecuación sólo se cumple si $|K^{\ast}| = 4$ o $|K^{\ast}| = 2$ es decir, si para $|K| = p^n$ tenemos $p^n - 1 = 2$ o $p^n - 1 = 4$ , ambas ecuaciones dan $p = 3$ o $p = 5$ y $n = 1$ . Así que supongo que otro campo tiene que ser infinito.

Answer 1

Obsérvese que el polinomio $x^4-1$ no puede tener más de $4$ raíces, por lo que $|K^*|\le 4$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que un grado $n$ polinomio puede tener como máximo $n$ raíces sobre un campo. Así que un campo en el que todos los elementos no nulos satisfacen $x^4=1$ puede tener como máximo $4$ elementos no nulos, por lo tanto, como máximo $5$ elementos todos juntos. Los únicos campos de este tipo son $\mathbb{F}_2,\mathbb{F}_3$ y $\mathbb{F}_5$ , todos los cuales satisfacen la condición.

Answer 3

Sólo añadir ya que nadie lo ha dicho: Obsérvese que, dado que el grupo $\mathbb F_q^*$ es cíclico de orden $q-1$ la condición de que $x^4=1$ por cada $x \in \mathbb F_q^*$ equivale a $(q-1) \mid 4$ . Así que simplemente hay que enumerar todas las potencias primarias $q$ tal que $q-1$ se divide en $4$ Lo que no deja muchas opciones.