Unión e intersecciones de consecuencias lógicas

Question

Tengo una confusión con respecto al operador de consecuencia Tarskiano $Cn$ . Tengo un ejemplo en el que busco encontrar la intersección de 3 consecuencias lógicas pero no estoy seguro de cómo encontrarla.

$Cn(x) \cap Cn(y) \cap Cn(x,y) =\quad?$

Yo diría que el resultado es $Cn(x \vee y)$ porque si debilito la entrada $x$ en $Cn(x)$ con $Cn(x \vee y)$ y hago lo mismo con $Cn(y)$ para conseguir $Cn(y \vee x)$ Puedo conseguir que la intersección $Cn(x \vee y)$ .

¿Puede alguien indicarme la dirección correcta o ayudarme a encontrar materiales donde pueda encontrar ejemplos sobre la unión e intersecciones utilizando operadores Cn?

Answer 1

En primer lugar, por monotonicidad, $C_{n}(x)\subseteq C_{n}(x,y)$ y $C_{n}(y)\subseteq C_{n}(x,y)$ , lo que significa $C_{n}(x)\cap C_{n}(y)\cap C_{n}(x,y)=C_{n}(x)\cap C_{n}(y)$ .

Ahora, toma $z\in C_{n}(x\vee y)$ :

• desde $x\vee y\in C_{n}(x)$ (dado $x\vDash x\vee y$ ), por monotonicidad e idempotencia se encuentra $z\in C_{n}(x)$ ;
• análogamente, $z\in C_{n}(y)$ .

Así que $$C_{n}(x\vee y)\subseteq C_{n}(x)\cap C_{n}(y).$$ Recíprocamente, asuma $z\in C_{n}(x)\cap C_{n}(y)$ por eliminación de la disyunción (dado $x\vDash z$ y $y\vDash z$ , $x\vee y\vDash z$ ), se obtiene $z\in C_{n}(x\vee y)$ y así $$C_{n}(x\vee y)=C_{n}(x)\cap C_{n}(y)=C_{n}(x)\cap C_{n}(y)\cap C_{n}(x,y),$$ tal y como sospechabas.