Esfera geodésica utilizando sólo pentágonos y hexágonos regulares

Question

Sé que la aproximación geodésica para construir una forma de cúpula esférica necesita 12 pentágonos y estos pentágonos son pentágonos regulares.

Sin embargo, cuando miro de cerca los hexágonos son ligeramente diferentes en sus formas y tamaños. ¿Es matemáticamente posible construir una esfera geodésica utilizando 12 pentágonos y hexágonos REGULARES del MISMO TAMAÑO? (por ejemplo como el Icosaedro Truncado)

¿Poner pentágonos adicionales para forzar la curvatura entre los hexágonos regulares solucionaría esto?

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/72/Goldberg_polyhedron_6_5.png

Answer 1

La única posibilidad de tener hexágonos regulares es el icosaedro truncado (también conocido como fútbol). Siempre que tres hexágonos regulares se encuentran en un vértice, se tienen tres ángulos de 120° que se encuentran allí, lo que hace que el vértice sea indeseablemente "plano".

Utilizando un $\ne 12$ Los pentágonos (y, en caso contrario, sólo los hexágonos) no te darán una esfera debido a la fórmula de los poliedros de Euler (a menos que no dejes que tres polígonos se encuentren en cada vértice, pero entonces tu forma sería aún más irregular).

Answer 2

Si alguna vez estás dispuesto a aceptar soluciones que no impliquen hexágonos regulares:

El dodecaedro cerrado (4 triángulos regulares y 1 pentágono regular en cada vértice) tiene una forma bastante cercana a la de una esfera y es menos "angular". Está formado por 80 triángulos regulares y 12 pentágonos regulares. Es rígido.