¿Hasta qué punto son erróneas las ecuaciones clásicas de Maxwell (en comparación con la QED)?

Question

Ahora, yo no realmente quiere decir que las ecuaciones de Maxwell son erróneas. Sé que las ecuaciones de Maxwell son muy precisas cuando se trata de predecir fenómenos físicos, pero al pasar por la escuela secundaria y ahora en la universidad, las ecuaciones de Maxwell son vistas como el ecuaciones de la electricidad y el magnetismo. Ahora bien, los estudiantes saben que, aunque las leyes de Newton suelen ser exactas cuando se aplican a las experiencias cotidianas, también son sustituidas a altas velocidades por la relatividad especial (y la relatividad general para campos gravitatorios muy grandes).

Pero esto no es tan así en el caso de las ecuaciones de Maxwell. He leído que las ecuaciones de Maxwell se sustituyen por electrodinámica cuántica (que para mí tiene todo el efecto de meras palabras de moda, ya que no sé qué es la electrodinámica cuántica es ) como una forma más precisa de describir las ondas electromagnéticas, pero ¿cuáles son las limitaciones de las ecuaciones de Maxwell?

O permítanme expresarlo de otra manera. Actualmente estoy estudiando ingeniería eléctrica. Sé que los científicos e ingenieros de la NASA pueden seguir utilizando la física newtoniana para sus cálculos, porque es así de precisa. Pero también sé que la relatividad hace tienen que entrar en juego con el GPS. Entonces, ¿en qué situación, como ingeniero eléctrico, me fallarían las ecuaciones de Maxwell? ¿Cuándo (suponiendo que esté trabajando en un proyecto lo suficientemente avanzado) tendría que recurrir a formas más precisas de describir las ondas electromagnéticas?

Answer 1

La electrodinámica maxwelliana fracasa cuando intervienen fenómenos de la mecánica cuántica, del mismo modo que la mecánica newtoniana debe ser sustituida en ese régimen por la mecánica cuántica. Las ecuaciones de Maxwell no "fallan" realmente, ya que sigue existiendo una versión equivalente en la MQ, sólo cambia la propia mecánica.

Permítanme que me explaye un poco. En la mecánica newtoniana, tenías una posición y un momento dependientes del tiempo, $x(t)$ y $p(t)$ para su partícula. En la mecánica cuántica, el estado dinámico se transfiere al estado cuántico $\psi$ cuyo análogo clásico más cercano es una densidad de probabilidad en el espacio de fase en Mecánica de Liubliana . Hay dos "imágenes" diferentes en la mecánica cuántica, que son exactamente equivalentes.

• En la imagen de Schrödinger, la evolución dinámica está codificada en el estado cuántico $\psi$ que evoluciona en el tiempo según la ecuación de Schrödinger. La posición y el momento se sustituyen por operadores estáticos $\hat x$ y $\hat p$ que actúan sobre $\psi$ esta acción se puede utilizar para encontrar el valor esperado, y otras estadísticas, de cualquier medida de posición o momento.

• En la imagen de Heisenberg, el estado cuántico es fijo, y son los operadores de todas las variables dinámicas, incluyendo la posición y el momento, los que evolucionan en el tiempo, a través de la ecuación de Heisenberg.

En la versión más simple de la electrodinámica cuántica, y en particular cuando no hay fenómenos relativistas implicados, las ecuaciones de Maxwell siguen siendo válidas: son exactamente las ecuaciones de Heisenberg sobre los campos eléctricos y magnéticos, que ahora son operadores sobre el estado del sistema $\psi$ . Por lo tanto, formalmente sigues "usando" las ecuaciones de Maxwell, pero esto es bastante engañoso ya que la mecánica que las rodea es completamente diferente. (Además, tiendes a trabajar con la imagen de Schrödinger, pero eso no viene al caso).

Este régimen se utiliza para describir experimentos que requieren que el propio campo se cuantifique, como por ejemplo Interferometría Hong-Ou-Mandel o experimentos en los que el campo se enreda de forma medible con la materia. También hay una gran zona gris de experimentos que se describen útilmente con este formalismo pero que no requieren realmente un campo EM cuantizado, como los ejemplos mencionados por Anna. (Así, por ejemplo, la radiación del cuerpo negro puede explicarse igualmente bien con niveles de energía discretos en los emisores en lugar de la radiación).

Hasta hace poco, este régimen se limitaba a la física óptica, por lo que no era algo de lo que tuviera que preocuparse un ingeniero eléctrico. Esto ha empezado a cambiar con la introducción de circuito QED que es el estudio de los circuitos superconductores que presentan un comportamiento cuántico. Se trata de un nuevo y apasionante campo de investigación y es una de nuestras mejores apuestas para construir un ordenador cuántico (o, según a quién se le pregunte, el modelo utilizado por el único ordenador cuántico que ya está construido. ish.), así que es algo a lo que hay que prestar atención si se buscan opciones profesionales ;).

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La verdadera locura viene cuando se lleva la electrodinámica a regímenes que son tanto cuánticos como relativistas (donde "relativista" significa que la frecuencia $\nu$ de la radiación EM es mayor que $c^2/h$ veces la masa de todas las partículas materiales relevantes). Aquí la mecánica cuántica también cambia, y se convierte en lo que se conoce como teoría cuántica de campos y esto introduce una serie de fenómenos diferentes. En particular, el número de partículas puede cambiar con el tiempo, por lo que se puede poner un fotón en una caja y volver a encontrar un electrón y un positrón (lo que no ocurriría en la EM clásica).

De nuevo, aquí el problema no es la EM en sí, sino la mecánica que la rodea. La QFT se construye en torno a un concepto llamado acción que determina completamente la dinámica. También se puede construir la mecánica clásica alrededor de la acción, y la acción para la electrodinámica cuántica es formalmente idéntica a la de la electrodinámica clásica.

Este régimen incluye fenómenos de creación y aniquilación de pares, y también cosas como la dispersión fotón-fotón, que sí parecen estar en desacuerdo con la EM clásica. Por ejemplo, se pueden producir dos haces de rayos gamma y hacer que se crucen, y se dispersarán ligeramente entre sí. Esto es inconsistente con el principio de superposición de la EM clásica, ya que rompe la linealidad, por lo que se podría decir que las ecuaciones de Maxwell han fallado - pero, como he señalado, es un poco más sutil que eso.

Answer 2

Es curioso que todas las respuestas hasta ahora hayan olvidado el simple y elegante criterio siguiente : la mecánica cuántica aparece cuando $$\dfrac{\hbar\omega}{k_{B}T} > 1$$

con $h=2\pi\hbar\approx6,63.10^{-34}\text{J}\cdot\text{s}$ la constante de Planck y $k_{B}\approx1,38.10^{-23}\text{J}\cdot\text{K}^{-1}$ la constante de Boltzmann, $\omega$ y $T$ siendo la frecuencia (angular) y la temperatura, respectivamente.

El criterio es el siguiente: la constante de Planck es la escala de energía característica (a la frecuencia) del mundo cuántico, y la constante de Boltzmann es la escala de energía característica (a la temperatura) del mundo estadístico.

En los circuitos eléctricos, la mayoría de las propiedades que interesan invocan una bandada de electrones que fluyen de un punto a otro. En realidad, el número de electrones que fluyen es bastante grande, digamos $\left(10^{10}-10^{30}\right)$ electrones (ventana grande). La rama de la física que trata los problemas de muchos cuerpos es la física estadística. Por el contrario, la mecánica cuántica (especialmente la óptica cuántica) se construyó con problemas de un solo cuerpo en la cabeza (un electrón orbitando alrededor de un núcleo, una partícula en túnel, ...). Esto sigue siendo cierto (pero tiende a ser menos prominente) en la física de altas energías. La rama de la física que se ocupa de las propiedades cuánticas del grupo de electrones que fluye en la materia se llama física de la materia condensada . De hecho, no se puede entender la mayoría de las propiedades de los materiales sin la mecánica cuántica (teoría de bandas, respuesta óptica de los materiales, ...) Así que todos los ingenieros eléctricos utilizan la mecánica cuántica, la cuestión es que utilizan el promedio estadístico de estas propiedades cuánticas, que se comportan bastante bien como en el régimen clásico. Dicho de otro modo, puede que se introduzcan efectos cuánticos en el cálculo de la capacitancia, la inductancia y la resistencia de los materiales, pero una vez que se conocen estas cantidades, se pueden utilizar simplemente las leyes de Kirchhoff.

Ese es el secreto más importante de la física: una teoría es siempre eficaz. Las leyes de Kirchhof son correctas a altas temperaturas (pero no demasiado altas, por ejemplo a temperatura ambiente) y para fenómenos cuasiestáticos (frecuencias bastante bajas). Así es como se derivan de la teoría de Maxwell.

Una propiedad de la materia que no se puede explicar sin la mecánica cuántica, pero que es bien conocida en el régimen de microondas es el magnetismo. Sin embargo, existe una teoría de circuitos para estos materiales llamada teoría de los circuitos magnéticos , que realmente se parece a las ecuaciones de Maxwell. Pero para calcular las magnitudes macroscópicas que presentan los materiales se necesita la mecánica cuántica... ¡o medirlas y tabularlas!

Como perspectiva histórica, cuando la gente intentó aplicar las mismas reglas a los problemas de un cuerpo y a los de muchos cuerpos (y también la generalización a los problemas relativistas), empezaron a construir la teoría cuántica de campos. La mayoría de las respuestas dadas hasta ahora discuten esencialmente la teoría del campo cuántico en el vacío, cuando en realidad las ecuaciones de Maxwell son siempre válidas, siempre que se definan los campos eléctricos y magnéticos como promedio sobre las propiedades cuánticas. De hecho, a veces hay que cuantificar el intercambio de excitaciones entre el objeto aislado y los campos ( Anna dio algunos ejemplos de esta cuantificación en su respuesta). Las ecuaciones de Maxwell se recuperan cuando se suman muchas configuraciones de una sola partícula (por decirlo rápidamente). También a veces esta cuantificación requiere generalizar la simetría de los campos, hay entonces generalización de los campos eléctricos y magnéticos, llamados campos gauge no abelianos en ese contexto. Pero estamos entonces lejos de la descripción de los electrones en la materia, ya que estas teorías son necesarias para discutir los constituyentes elementales del núcleo, unas escalas de energía de las que la ingeniería eléctrica no se ocupa, ¡en absoluto! (Cruzo el dedo, ya que nunca hay que apostar por el futuro tecnológico, digamos al menos para las próximas décadas ... )

Cuando se reduce el número de partículas que intervienen en los circuitos, cuando se disminuye la temperatura y cuando se aumenta la frecuencia, los sistemas comienzan a comportarse de forma diferente a las leyes de Kirchhof. En cierto modo, todas las propiedades cuánticas que estaban ocultas en el promedio estadístico discutido anteriormente empiezan a ser cada vez más prominentes.

La discusión de las propiedades electrónicas a bajas temperaturas (unos pocos Kelvin), bajas escalas dimensionales (escala nanométrica / micrométrica) y altas frecuencias (megaHertz / gigaHertz; para los ópticos no es tan alto, pero para los ingenieros eléctricos sí) es el tema central de lo que se llama física mesoscópica una física intermedia entre el mundo clásico y el cuántico. El circuito QED mencionado por Emilio Pisanty en su respuesta en esta página es sólo un subtema de la física mesoscópica. Podría ser el "más cuántico", ya que las propiedades electrónicas de los superconductores no pueden describirse mediante la física clásica, aunque se pueden corregir las ecuaciones de Maxwell para hablar del electromagnetismo de los superconductores. Este conjunto de leyes modificadas se denomina Las ecuaciones de Londres La teoría efectiva de los circuitos superconductores, que sin embargo no puede explicar el efecto Josephson. Explorando un poco estas leyes, verás que no son gauge-invariantes... algo que no se puede explicar sin el gran aparato de la teoría cuántica de campos. Se tardó entre 10 y 20 años en explicar la teoría de London a partir del cálculo microscópico, y de nuevo 10 años en relacionar el fallo de la invariabilidad gauge con el mecanismo de Anderson-Higgs. Mientras tanto, los ingenieros eléctricos aplicaban las ecuaciones de London y tabulaban los superconductores con gran precisión.

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Esta respuesta se ha alargado mucho más de lo que pensaba al empezar a escribir, seguramente porque el tema es fascinante :-)

Me gustaría ofrecerte otras perspectivas sobre las ecuaciones de Maxwell y la teoría efectiva. Unas décadas después de su aparición, la gente pensaba que las ecuaciones de Maxwell unificaban todas las radiaciones posibles siempre . De hecho, unificaron todas las radiaciones conocidas en ese momento que ya eran un gran paso, ¿no? Así que es la interpretación de la universalidad asociada ingenuamente a las ecuaciones de Maxwell la que ha fallado, no las ecuaciones de Maxwell en sí mismas, ya que fueron discutidas en un contexto histórico y experimental claro. Las ecuaciones de Maxwell tienen que ser corregidas (o cambiadas radicalmente) cuando se va a altas frecuencias (lo que significa : a altas energías), o cuando se va a bajas temperaturas (lo que significa : a bajas energías). Un punto más sutil (espero haberlo explicado bien arriba) es : Las ecuaciones de Maxwell tampoco describen objetos individuales (digamos, fotones individuales). Pero es evidente que nunca fueron diseñadas para esto... y de hecho es toda la descripción mecánica que hay que cambiar para llegar a este límite. Emilio discutió esto en detalle.

Un punto importante que queda en la discusión anterior es : por supuesto el gran mérito de Maxwell fue unificar la electricidad y el magnetismo, no las radiaciones como dije arriba. De hecho las radiaciones provienen naturalmente de la teoría electromagnética. Como observación final, también se podría decir que las ecuaciones de Maxwell definir electromagnetismo. Ese es el punto de vista común, y por eso se habla de electromagnetismo cuántico cuando se utiliza la versión cuántica de las ecuaciones de Maxwell, ...

Answer 3

Las ondas electromagnéticas clásicas emergen de la descripción electrodinámica cuántica subyacente de forma suave y consistente. El marco cuántico significa que las ondas clásicas se construyen a partir de fotones, y el único momento en el que hay que preocuparse por más detalles de los que proporcionan las ecuaciones de Maxwell es a nivel de la física de partículas y allí donde se ha descubierto que la cuantización elimina las discrepancias de las predicciones clásicas con los datos.

1. los espectros atómicos que muestran líneas inesperadas de las soluciones suaves de ME

2. el radiación del cuerpo negro que necesita la cuantificación de la energía

3. Láser y fenómenos similares que dependen de la física atómica

4. situaciones en las que los fotones (partículas) son lo suficientemente energéticos para la creación y aniquilación de partículas, tienen interacciones fotónicas medibles, etc. que no pueden ser descritas con soluciones de ME.

Las soluciones clásicas de las ecuaciones de Maxwell están bien para la mayoría de las situaciones .

Edición: Mirando la discusión en la respuesta de Marty Green, donde insiste en que las ecuaciones de Maxwells no fallan usando el átomo de Schrodinger y agitando a mano la emisión y absorción en las líneas, creo que en la respuesta completa de Emilio Pisanty de arriba se aclara esto:

En la versión más sencilla de la electrodinámica cuántica, y en particular cuando no intervienen fenómenos relativistas, las ecuaciones de Maxwell siguen siendo válidas: son exactamente las ecuaciones de Heisenberg sobre los campos eléctricos y magnéticos, que ahora son operadores del estado ψ del sistema. Por lo tanto, formalmente sigue "usando" las ecuaciones de Maxwell, pero esto es bastante engañoso ya que la mecánica que lo rodea es completamente diferente.

La forma es la misma pero la manera de aplicarla en el régimen cuántico es drásticamente diferente, tan diferente como lo son los operadores diferenciales (cuánticos) de las variables reales (clásicas).

La cita aclara lo que yo escribí como "Las ondas electromagnéticas clásicas emergen de la descripción electrodinámica cuántica subyacente de forma suave y consistente".

EDIT : Como esto fue declarado el duplicado de una pregunta reciente quiero añadir dos enlaces. El Aquí se da la función de onda de Maxwell del fotón. Lubos Motl tiene esta entrada en su blog sobre Cómo surgen los campos clásicos y las partículas de la teoría cuántica

Answer 4

Anna V se equivoca cuando dice que las ecuaciones de Maxwell son inconsistentes con la radiación del cuerpo negro. En la mecánica cuántica, incluso si se ignora la radiación, existe una densidad de carga que se puede calcular (en principio) a partir de la ecuación de Schroedinger. En un cuerpo caliente, esta densidad de carga fluctúa por el movimiento térmico aleatorio. Si sigues la evolución temporal de la densidad de carga, y luego aplicas las ecuaciones de Maxwell, obtendrás el espectro de radiación correcto de un cuerpo negro. No es necesario desechar las ecuaciones de Maxwell, ni cuantificar la energía.

Los otros ejemplos de Anna son igualmente falsos. No hay nada en las ecuaciones de Maxwell que prediga un espectro continuo para los átomos. No se utilizan las ecuaciones de Maxwell para calcular el movimiento de la carga dentro de un átomo, se utiliza la ecuación de Schroedinger. A partir de ahí, se obtienen distribuciones de carga oscilantes. Si luego utilizas las ecuaciones de Maxwell para calcular el espectro de radiación, obtienes exactamente la respuesta correcta, hasta los anchos de línea.

Lo mismo ocurre con los láseres. La ecuación de Schroedinger te da las "inversiones de población", etc., pero las ondas resultantes de las oscilaciones atómicas son totalmente clásicas: especialmente la forma en que un resonador, estimulando a otro cercano, lo pone en fase para que la onda resultante sea coherente. Todo sale de las ecuaciones de Maxwell. No los estados atómicos, por supuesto... esos vienen de Schroedinger. Pero la radiación resultante es toda de Maxwell.

EDIT: Ruslan ha preguntado (en los comentarios) cómo puedo calcular los anchos de línea usando sólo Schroedinger + Maxwell. Es un cálculo que he hecho en mi blog. que puedes encontrar aquí . Lo que es fundamental entender es que, aunque nos gusta hablar de cosas como "un átomo de hidrógeno en estado excitado puro", con lo que realmente estamos tratando normalmente en una situación experimental es con un conjunto de un millón de átomos de hidrógeno, algunos (por ejemplo, el 1%) de los cuales están en el estado excitado (100%). En ese caso no puedo hacer el cálculo. Pero no hay forma experimental de distinguir este conjunto hipotético de un conjunto alternativo en el que todo (100%) de los átomos están en un estado excitado del 1%. Y entonces el cálculo es obvio.

Si crees que estos estados son distinguibles, intenta escribir la matriz de densidad para ellos.

Answer 5

El problema es que con una carga en el espacio vacío, incluso se ejecuta con la aceleración, todavía no puede enviar la onda. No puede enviar la radiación. Para que un emisor envíe la onda de radiación, necesita un absorbente para recibir la onda. Esto es lo que nos dice la teoría del absorbente de Wheeler-Feynman.

Si asumes que una carga siempre puede enviar una onda de radiación incluso sin un absorbente, te equivocas. Según la teoría de Maxwell, la corriente de la fuente siempre envía la onda hacia fuera, eso no es cierto.

Según el "principio de energía mutua" y el "principio de autoenergía", sólo cuando la onda retardada puede encontrar una onda avanzada emparejada, se puede enviar un fotón. Esto significa que sólo cuando la onda retardada y la onda avanzada se sincronizan, se puede producir la radiación.

Por lo tanto, debe haber dos grupos de ecuaciones de Maxwell trabajadas juntas, una es para la onda retardada, otra es para la onda avanzada.

Sin una onda adelantada coincidente, la onda retardada tal vez también se envíe pero regresa con un proceso de inversión del tiempo.

Conclusión: Las ecuaciones de Maxwell sólo son verdaderas con cierta probabilidad, dependiendo de si una onda masculina puede o no casarse con una onda femenina. Esa es la razón en QET, la onda es onda de probabilidad.

Vea mi publicación: http://www.openscienceonline.com/journal/archive2?journalId=726&paperId=4042