¿Puede cualquier curva hiperelíptica suave estar incrustada en una superficie cuádrica?

Question

Consideremos las curvas algebraicas sobre un campo fijo algebraicamente cerrado $K$ .

Es bien sabido que toda curva elíptica suave (género $g = 1$ ) se puede incrustar en una superficie cuádrica en $\mathbb{P}^3$ . Este hecho se deduce simplemente del teorema de Riemann-Roch.

De forma más general, para las curvas hiperelípticas suaves de mayor género ( $g \ge 2$ ) se sabe que tales curvas pueden incrustarse en una cuádrica en el espacio proyectivo ponderado $\mathbb{P}(1,1,g)$ , véase, por ejemplo, obra de D. Eisenbud . (Así, en el caso $g=2$ tenemos la incrustación en $\mathbb{P}^4$ ).

Pero, ¿puede cualquier curva hiperelíptica suave $H$ estar incrustado en una superficie cuádrica en $\mathbb{P}^3$ ?

Es una pregunta natural, porque, por la definición que tenemos del mofismo $\phi:H \to \mathbb{P}^1$ de grado 2.

Creo que este problema está relacionado con los temas "Familias de curvas hiperelípticas y cubiertas dobles de superficies cuádricas" y Superficie del cociente de una involución hiperelíptica pero no lo entiendo. (Estoy interesado en el caso de cualquier campo cerrado algebraicamente y en el caso de campo finito).

Answer 1

Sí.

Dejemos que $C$ sea una curva hiperelíptica de género $g$ y que $L$ sea un haz de líneas general de grado $g+1$ . Por Riemann-Roch, $\dim|L| = 1$ y $|L|$ es libre de punto base, por lo que la serie completa $|L|$ da un grado $g+1$ mapa a $\mathbb{P}^1$ . Entonces el producto de este mapa y el grado $2$ mapa $C\to \mathbb{P}^1$ da un mapa $f:C\to \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ cuya imagen es una curva de tipo $(2,g+1)$ . Pero $\mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1$ es sólo una cuádrica en $\mathbb{P}^3$ .

Para ver que el mapa es una incrustación, bastará con mostrar que es birracional. En efecto, la imagen tiene género aritmético $g$ por adición en una superficie cuádrica. Pero también tiene género geométrico $g$ desde $C$ es su normalización. Así, la imagen es suave si se reduce.

Finalmente debemos ver que el mapa es birracional. La única manera de que el mapa no sea inyectivo es si algún divisor de $|L|$ contiene un par de puntos conjugados bajo la involución hiperelíptica. Pero en este caso la suposición de que $\dim |L|=1$ implica que $|L| = g_2^1 + p_1+\cdots+ p_{g-1}$ , donde $g_2^1$ es la serie hiperelíptica y $p_1,\ldots,p_{g-1}$ son puntos base. Dado que $L$ era general, esto no es cierto, y hemos terminado.

He aquí una bonita (aunque trivial) clase de conversión parcial: Si $g$ es primo, entonces cualquier curva suave $C$ del género $g$ que se incrusta en una cuádrica suave es hiperelíptica.

Answer 2

Una realización explícita del grado $2$ y el grado $g+1$ mapas que se pueden proporcionar puntos separados. Supongamos que la ecuación de una curva hiperelíptica es $$C:y^2=f(x)$$ con $\deg(f)=2g+2$ . "Completa el cuadrado escribiendo $$f(x)=r(x)^2+q(x)$$ con $\deg(r)=g+1$ y $\deg(q)\leq g$ . Entonces, los mapas $$A:(x,y) \mapsto x$$ $$B:(x,y)\mapsto y-r(x)$$ son de grado $2$ y el grado $g+1$ respectivamente. El mapa $B$ es el grado $g+1$ porque si asumimos que $B(x,y)=c$ , entonces obtenemos la ecuación $c(c+2r(x))=q(x)$ que genéricamente tiene $g+1$ soluciones. Además $(A,B)$ es claramente inyectiva. Por lo tanto, la imagen $$(A,B):C\mapsto C'\subset\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$$ es un grado $(2,g+1)$ curva que $C$ se normaliza y se aplica la lógica de la respuesta de Jack.

Answer 3

La respuesta es sí en el caso $g=2$ .

En otras palabras, cualquier curva $C$ del género $2$ se puede incrustar en una cuádrica $Q \subset \mathbb{P}^3$ . De hecho, consideremos un divisor $D$ de grado $5$ en $C$ . Entonces $D$ es muy amplio [Hartshorne, Corolario 3.2 página 308] y $h^0(D)=4$ por lo que define una incrustación $\phi \colon C \to \mathbb{P}^3$ tal que su imagen (que volvemos a llamar $C$ ) es una curva de grado $5$ .

Ahora utilizamos la teoría de Castelnuovo: si $C$ es cualquier curva no degenerada de género $g$ y de grado impar $d$ en $\mathbb{P}^3$ entonces $$g \leq \frac{1}{4}(d^2-1)-d+1,$$ y si la igualdad se mantiene entonces $C$ se encuentra en una superficie cuádrica [Hartshorne, Thm. 6.4 página 351].

Dado que la igualdad es válida para $(g, d)=(2,5)$ hemos terminado.

ADDENDUM. Sólo para completar, permítanme añadir un argumento de la teoría de la deformación que muestra que el general curva hiperelíptica suave de género $g$ se encuentra en una cuádrica $Q$ . Esto sustituirá mi anterior e impreciso recuento de parámetros. Obsérvese que Jack Huizenga demostró en su respuesta que esto es realmente cierto para cualquier dicha curva.

Empecemos con una curva $C \subset Q$ de bidegree $(2, g+1)$ . Esto es claramente hiperelíptico y tenemos una secuencia exacta corta $$0 \to T_C \to T_Q \otimes \mathcal{O}_C \to N_{C/Q} \to 0$$ y como $H^0(T_C)=0$ para $g \geq 2$ esto da a su vez una secuencia en cohomología $$0 \to H^0(T_Q \otimes \mathcal{O}_C) \to H^0(N_{C/Q}) \stackrel{\delta}{\to} H^1(T_C).$$

Ahora los cálculos estándar dan como resultado $$h^0(T_Q \otimes \mathcal{O}_C)=g+6, \quad h^0(N_{C/Q})=3g+5$$ de ahí la imagen del mapa $\delta \colon H^0(N_{C/Q}) \to H^1(T_C)$ tiene dimensión $3g+5-g-6=2g-1.$

Esto significa que las deformaciones incrustadas de $C$ en $Q$ que son todos hiperelípticos, forman una familia de dimensión $2g-1$ . Pero esta es exactamente la dimensión del lugar hiperelíptico en $\mathcal{M}_g$ ya que cualquier curva hiperelíptica de género $g$ es una cubierta doble de $\mathbb{P}^1$ se ramificó en $2g+2$ puntos.