Número esperado de una variable con distribución de Poisson

Question

Se acaban de instalar 50 focos en un sistema de seguridad exterior. Según las especificaciones del fabricante, estos focos se quemarán a un ritmo de 1,1 por cada cien horas. ¿Cuál es el número esperado de bombillas que no durarán al menos setenta y cinco horas?

Aquí $\lambda=1.1/100$ horas. Mi primera idea fue encontrar la tasa media de agotamiento de $75$ intervalo de horas, lo que equivale a $3/4 \cdot \lambda=0.825/75$ horas. Sin embargo, no entiendo cómo puede ayudar a encontrar el número esperado de bombillas que se quemará en $75$ horas.

Answer 1

El valor esperado de una distribución de Poisson es igual a $\lambda$ por definición. Para su ejemplo particular, $E(x)=\lambda=\frac{1.1*75}{100}=0.825$ Así que ya has encontrado el número esperado de bombillas que se quemarán. Un error común es que el valor esperado debe ser un número entero, pero en realidad no es así.

Answer 2

Piense mejor en la distribución exponencial, que define la probabilidad del tiempo que transcurre hasta la ocurrencia de un determinado evento (o entre eventos) en los procesos de Poisson.

La función de densidad acumulada para dicha distribución es, para un tiempo positivo $t$ de la siguiente manera: $$F(t,\lambda)=1-e^{-\lambda\,t}$$

Nuestra unidad de medida de tiempo es de 100 horas. $\lambda=1.1$ y el umbral de fracaso que nos interesa es $t=0.75$ . La probabilidad de que un foco falle antes de $t=0.75$ es $$1-e^{-1.1*0.75}$$ que es, aproximadamente, $0.561765$ . Ahora, como tenemos 50 focos, $50*0.561765$ es la salida deseada, que es aproximadamente 28.