Categoría de representaciones de grupo de mentira equivalentes a la categoría de representaciones de la álgebra de mentira

Question

Deje $G$ ser una mentira grupo y $\mathfrak{g}$ su mentira álgebra. Considerar la categoría de $Rep(G)$ finito de representaciones tridimensionales de $G$ y la categoría de $Rep(\mathfrak{g})$ finito de representaciones tridimensionales de $\mathfrak{g}$. Morfismos en esas categorías son sólo $G$- resp. $\mathfrak{g}$ equivariant lineal mapas. Es evidente que existe una functor $$d\colon Rep(G)\rightarrow Rep(\mathfrak{g}),\pi\mapsto d_e\pi$$ which maps a representation of $G$ to a representation of $\mathfrak{g}$ by taking the derivative at the neutral element. On morphisms, $d$ is just the identity because $G$ equivariant maps are also $\mathfrak{g}$ equivariant, what can be seen by putting 1-parameter subgroups of $G$ in the defining definition of beeing $G$ equivariant y tomando la derivada.

Si $G$ es de $d$ es bijective en los objetos, porque la Mentira grupo homomoprhism están en bijection a los morfismos de sus álgebras de lie, si el dominio es simplemente conectado.

Es $d$ bijective en morfismos demasiado? Por lo $d$ es un isomorfismo de las categorías?

La cuestión se reduce a la pregunta, si cada una de las $\mathfrak{g}$ equivariant lineal mapa entre espacios vectoriales es $G$ equivariant.

Answer 1

Que $V$ y $W$ dos representaciones de $G$ y $f : V \rightarrow W$ invariantes por $\frak{g}$, es decir, para todos los $X \in \frak{g}$ y $v \in V$: %#% $ #% que $$f(X.u) = X.f(u).$, $t \in \mathbb{R}$ y set $X \in \frak{g}$. Tienen de los dos subgrupos de parámetro 1 $g=\exp(tX)$ $ dérivatives $$ t \mapsto f \circ \exp(tX) ~, \quad t \mapsto \exp(tX) \circ f$ respectivamente $t=0$ y $f \circ X$ que son iguales. Esto significa que los subgrupos de dos $X \circ f$-parámetro son igual, es decir, $1$ % todos $f(g.u) = g.f(u)$.