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Campos algebraicamente cerrados de característica positiva

Estoy cursando geometría algebraica introductoria este trimestre, así que muchos de los teoremas que vemos en clase empiezan con "Sea k un campo algebraicamente cerrado". Una de las cosas que me ha molestado es que, en lo que respecta a la intuición, también podría añadir "...de característica 0" al final de eso.

Conozco los números complejos desde el jardín de infancia, así que tengo una idea bastante buena de cómo es y cómo se siente al menos un campo algebraicamente cerrado de característica 0. Y aunque no tengo el mismo conocimiento del campo de los números algebraicos, puedo hacer aritmética en él, así que son dos ejemplos.

Pero nunca he ( realmente ¡) visto un campo algebraicamente cerrado de característica p > 0! Puedo construir uno sin problemas, y si me ponen una pistola en la cabeza probablemente podría incluso hacer algo de aritmética en él, pero no hay ninguna intuición del tipo que se obtiene con los números complejos. Así que: ¿alguien sabe de una descripción intuitiva de tal campo, que sea posible obtener un sentido real de la misma manera que C?

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quux Puntos 548

Es un poco injusto hacer pasar esto por una respuesta a tu pregunta, pero también parece demasiado interesante para enterrarlo como comentario. (¡Puedo decirlo porque estoy citando el trabajo de otras personas!)

Los comentarios siguientes La respuesta de Ben señalar algunos buenos sentidos en los que "cualquier" cálculo sobre el cierre algebraico de $\mathbb F_p$ es realmente un cálculo sobre una extensión finita convenientemente grande de $\mathbb F_p$ pero no he visto una declaración precisa en los comentarios. Creo que vale mucho la pena señalar que, no sólo los cálculos algebraicos-cerrados-positivos-característicos, sino incluso los algebraicos-cerrados-característicos-característicos. $0$ Los cálculos se pueden ver de esta manera. Por ejemplo, esta es una forma de demostrar que un auto-mapa inyectivo y polinómico de $\mathbb C^n$ es biyectiva.

Ver El precioso artículo de Serre y El precioso resumen de Tao para más detalles sobre este punto de vista.

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Chad Cooper Puntos 131

Así que, en primer lugar, sólo hay un campo algebraicamente cerrado de característica p en el que hay que pensar por intuición, el cierre algebraico K de F_p. Y eso es muy fácil, es sólo el límite de los campos finitos de orden p^n a medida que n va al infinito.

De hecho, casi cualquier construcción que implique a K puede hacerse en un campo finito suficientemente grande. Por ejemplo, una afirmación como "toda variedad sobre F_p tiene un punto sobre K" es equivalente a "toda variedad sobre F_p tiene un punto sobre un campo finito suficientemente grande".

Además, el grupo multiplicativo de K es fácil de entender: es simplemente el límite directo sobre todos los números n coprimos a p de Z/nZ, donde Z/nZ -> Z/mZ si n|m por 1 -> m/n. Que es otra forma de decir que K se obtiene de F_p simplemente sumando todas las raíces unidad de orden coprimo a p.

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Vetle Puntos 413

Yo no hago nada más que el trabajo de prototipos y 5-10 ejecutar el montaje de prototipos aquí, así que no guardo que muchas partes alrededor, pero aquí están mis pensamientos:

Para SMD: Esto es mi cosa favorita jamás creada También tengo uno de estos para las cosas de bajo volumen que vienen en cinta y que son útiles para las pruebas, cuentas de ferrita y demás.

Para los circuitos integrados / conectores: Realmente no reutilizo muchas de estas cosas de un diseño a otro, así que normalmente se guardan en sus bolsas de digikey/mouser y se guardan en la caja del proyecto con las placas de circuito impreso y los conectores, etc. Soy bastante bueno en mantener un inventario de lo que tengo y para qué proyecto era en mi estación de trabajo por lo que normalmente puedo encontrar estas cosas rápidamente.

Para el agujero pasante: Realmente no uso mucho este material. Tengo una caja de pesca con un surtido de tapones cerámicos, una de resistencias de 1/4W al 1%, una de tapones de aluminio, y otra llena de otras cosas, diodos y transistores, etc. Realmente no uso esto muy a menudo, con la excepción de una resistencia o un tapón aquí y allá si tengo que cablear algo en un diseño de revoluciones temprano. Esto podría estar mejor organizado.

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somas1 Puntos 626

Ciertamente no es muy difícil entender todo lo que hay que entender sobre el cierre algebraico de Fp. Tal vez la razón por la que esto es insatisfactorio como un ejemplo para fundar la intuición es porque realmente no tiene una estructura topológica agradable; carece de cualquier cosa como una métrica natural. Así que aquí hay un intento de explicar por qué lo que es en cierto sentido el siguiente ejemplo más simple te pone en una mejor situación, en cuanto a la intuición.

Si tienes alguna intuición sobre el aspecto de los números p-ádicos (por ejemplo, topológicamente), entonces secretamente tienes intuición para la topología t-ádica en el campo local completo K=Fp((1/t)). Ahora bien, en lo que respecta a los campos característicos p, esto te pone en la posición de (en tu lenguaje) un "niño de preescolar" que conoce R pero que aún no ha llegado al jardín de infancia para aprender C. ¿Por qué K es como R? En primer lugar, es localmente compacto. En segundo lugar, es al menos análogo a completar Fp(t), que es muy parecido a Q con Fp[t] como análogo de Z, en una valoración "infinita", a saber, el grado o la valoración (1/t)-ádica, en lugar de un lugar "finito" como un polinomio primo en Fp[t]. (La valoración (1/t)-ádica corresponde al punto en el infinito de la recta proyectiva sobre F_p. Asimismo, a los teóricos de los números les encanta decir, quizá en parte para molestar a John Conway, que los valores absolutos reales y complejos en Q corresponden a "primos arquimédicos" o "primos que dividen al infinito". Aunque en realidad es una analogía bastante floja, ya que K=Fp((1/t)) se parece mucho más a Fp((t)), digamos, que R o C a Q2).

Por desgracia, hay dos dificultades adicionales en el caso de la característica p. En primer lugar, al pasar al cierre algebraico L de K perdemos la exhaustividad. En segundo lugar, hacemos una extensión de campo infinita, a diferencia de la extensión de grado 2 C/R. Así, aunque L es un campo algebraicamente cerrado de característica p, se parece poco a R. De hecho, se parece mucho más a un campo algebraicamente cerrado de característica 0 que da un poco más de miedo (al menos para mí) que C, a saber, Cp, o lo que se obtiene al completar el cierre algebraico de Qp con respecto a la topología procedente de la extensión única de la valoración p-ádica. Aunque esto puede parecer malo, creo que en realidad es bueno, porque uno puede llegar a entender algunas de las propiedades de Cp. [Nótese que, como ha señalado otro contestador, Cp = C como campo, pero no como campo topológico o valorado, que es realmente una estructura más interesante de considerar desde el punto de vista de la intuición de todos modos].

Por ejemplo de algunas similitudes, milagrosamente Cp resulta ser todavía algebraicamente cerrado, y creo que la misma prueba pasa para L arriba. Otra propiedad que comparten L y Cp es que además de las extensiones de campo "geométricas" K'/K que se obtienen al considerar campos de funciones de curvas planas sobre Fp, también hay extensiones "más estúpidas" que provienen de extender el campo de coeficientes. Esto es como pasar a extensiones no ramificadas de campos p-ádicos, en las que uno se ramifica en el campo de residuos. (De hecho, es exactamente lo mismo.) Tanto L como Cp son campos completos valorados con el campo de residuos el cierre algebraico de Fp. (Pero la valoración NO es discreta, sino que toma valores en Q.) Sin embargo, hay que tener cuidado con algunas curvas peligrosas desde el punto de vista topológico. Una búsqueda superficial en Google me dice que Cp no es localmente compacto, aunque es topológicamente separable.

Además, la característica positiva conlleva inevitablemente el problema de las extensiones de campo inseparables que se sientan al lado de L. Este es, por supuesto, un aspecto en el que L/K es diferente a Cp/Qp. A pesar de estas molestias, me gustaría argumentar que la imagen esbozada anteriormente realmente da un ejemplo de un campo algebraicamente cerrado de característica p para el que es posible tener alguna intuición real.

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MojoFilter Puntos 3730

Dudo que pueda dar una descripción "intuitiva" de dicho campo, pero espero que esto sea útil de todos modos:

Dos campos algebraicamente cerrados de la misma característica y del mismo grado de transcedencia (sobre sus subcampos primos) son isomorfos.

Así que, en cierto sentido, no hay demasiados ejemplos del tipo de campos que buscas.

(Este es uno de esos hechos que parecen gustar más a los teóricos del modelo que a los geómetras, aunque tiene una prueba muy bonita, en mi opinión. Se puede demostrar esencialmente de la misma manera que se demuestra que dos espacios vectoriales de la misma dimensión sobre el mismo campo son isomorfos, sustituyendo los espacios por cierres algebraicos y "linealmente independientes" por "algebraicamente independientes". El punto clave es que después de hacer esta traducción, el lema de intercambio de Steinitz funciona perfectamente dentro de cualquier campo algebraicamente cerrado, de cualquier característica).

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