Establezca la convergencia y encuentre los límites de la siguiente secuencia

Question

$a_n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}$

Sé que la respuesta se supone que es $e$ pero no estoy seguro de cómo llegar a esa respuesta.

Estoy tan perdido por dónde empezar con esto

Answer 1

Una pista: $a_n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\cdot \left(1+\dfrac{1}{n}\right)$

Answer 2

Desgraciadamente, no creo que haya ninguna forma de "probarlo": $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$$

Al menos, no sin un razonamiento circular.

El problema fundamental es que este límite ES EL definición del número de Euler. Así es como lo definió Jacob Bernoulli.

Todas las demás propiedades (las que podrían utilizarse para demostrarlo) se derivan de la verdad de esta definición.

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Estoy bastante seguro de que si usted tomó la expansión binomial: $$ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k}\left(\frac{1}{n}\right)^k$$ Entonces tomó el límite como $n\to\infty$ Si se utiliza, por ejemplo, la prueba de la proporción o algo así, se debería poder demostrar la convergencia.

En realidad, podría ser más fácil utilizar el criterio de convergencia monótona. Sea $s_n=(1+\frac1n)^n$ y se puede demostrar fácilmente con argumentos inductivos tanto que la secuencia aumenta como que está acotada por encima de 3.

Entonces, basta con declarar que el límite se llama $e$ que es lo que hizo Bernoulli.

Answer 3

$$(1)\ \lim_n a_n = \lim _n e^{\ (n+1)\cdot\ln(1+\frac{1}{n})} = e^{\lim \limits_n \ (n+1) \cdot \ln(1+\frac{1}{n})} = e^1$$

$\textbf{Comment}$ : Verificar por L'H (o como se considere oportuno) que, $$\lim_{n} \frac{\ln \big(1+ \frac{1}{n}\big)}{\frac{1}{(n+1)}} = \lim_{x} \bigg(\frac{1}{x(x+1)}\bigg)(x+1)^2 = \lim_{x} \frac{x+1}{x}=1.$$

$\textbf{Recall}$ : Del cálculo que si $f(x)$ es una función continua y $(a_n) \to L$ entonces $f(a_n) \to f(L)$ . En este caso $f(x)=e^x$ es nuestra función continua.

Answer 4

Una pista:

$$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$$ $$\ln a_n=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$$ $$\ln a_n=(n+1) \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$$