la función armónica es cero en el plano complejo

Question

Dejemos que $u(z)$ sea armónico en todos los $\mathbb{C}$ tal que

$$\int \int_{\mathbb{C}} \vert u(z) \vert^2 dx dy < \infty$$

Demuestre entonces que $u(z)=0$ para todos $z$ .

Así que algunas ideas que tenía, ya que sabemos $u(z)$ es armónico, esto significa que $u_{xx}+u_{yy}=0$ pero no sé cómo utilizarlo con la información que me han dado.

o utilizo el Teorema de Fubini?

Answer 1

Escoge $w$ arbitraria en el plano y utilizar la propiedad del valor medio y Cauchy-Schwarz para obtener: $$|\pi R^2u(w)|^2=|\int \int_{B(u,R)} u(z) dx dy|^2 \le \int_{B(u,R)} |u(z)|^2 dx dy\int_{B(u,R)} 1 dx dy$$

Pero dejar que $M=\int \int_{\mathbb{C}} \vert u(z) \vert^2 dx dy$ Lo entendemos:

$$|\pi R^2u(w)|^2 \le M^2\pi R^2$$

Dejemos que $R \to \infty$ y concluye $u(w)=0$ así que $u$ es idéntico a cero ya que $w$ fue arbitraria

Answer 2

En primer lugar, sabemos que para la función armónica existe la propiedad del valor medio. Entonces se fija $x_0\in \mathbb R^2$ y para cualquier bola $B_R(x_0)$ tenemos $$ \begin{aligned} |u(x_0)|&=\frac{1}{\pi R^2}\left|\int_{B_R(x_0)}u(y)\,dy\right|\\[5pt] &\leq \frac{1}{\pi R^2}\left(\int_{B_R(x_0)}u^2(y)\,dy\right)^\frac12 \left(\int_{B_R(x_0)}1\,dy\right)^\frac12\\[5pt] &= \frac{1}{\sqrt\pi R} \left(\int_{B_R(x_0)}u^2(y)\,dy\right)^\frac12\\[5pt] &\leq \frac{1}{\sqrt\pi R} \left(\int_{\mathbb R^2}u^2(y)\,dy\right)^\frac12. \end{aligned}$$ Por lo tanto, dejar que $R\to+\infty$ tenemos $u(x_0)=0$ . Desde $x_0$ es arbitraria, sabemos que $u= 0$ en $\mathbb R^2$ .