Probabilidad de la pregunta del dado

Question

Se lanza un dado justo hasta que un $6$ aparece. ¿Cuál es la probabilidad de que se lance más de 5 veces?

Así que esto es $1- P(\text{dice has to be cast less than or equal to}\ 5 \ \text{times})$ . Así que esta probabilidad es igual a $$ P =\frac{1}{6}+ \frac{5}{6} \frac{1}{6}+\left(\frac{5}{6} \right)^{2} \frac{1}{6} + \cdots + \left(\frac{5}{6} \right)^{4} \frac{1}{6}$$

Así que sólo hay que añadir $-1$ ¿a esto?

Answer 1

La probabilidad de obtener un no $6$ las primeras cinco veces es $(5/6)^5$ .

$$ \begin{align} & \Pr(\text{a non-}6\text{ on the 1st }5\text{ trials}) \\ \\ & = \Pr(\text{a non-}6\text{ on the first trial and a non-}6\text{ on the 2nd trial and a non-}6\text{ on the 3rd trial and }\ldots) \\ \\ & = \Pr(\text{a non-}6\text{ on the 1st trial})\cdot\Pr(\text{a non-}6\text{ on the 2nd trial})\cdot\Pr(\text{a non-}6\text{ on the 3rd trial})\cdots\cdots \\ \\ & = \frac56\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56. \end{align} $$

Answer 2

Para tu solución, restarías lo que tienes de 1. Está bien.

Sin embargo, se puede hacer de forma más sencilla: La probabilidad de que se tenga que lanzar más de 5 veces para obtener el primer 6 es exactamente la probabilidad de que cada una de las 5 primeras tiradas no dé como resultado un 6. Esto sería $ \bigl({5\over 6}\bigr)^5 $ , asumiendo la independencia de los rollos.

Answer 3

La forma más sencilla de hacerlo es simplemente elevar la probabilidad de que no salga un seis a la quinta potencia, ya que estas probabilidades son independientes, lo que da $$P(\text{cast more than five times}) = P(\text{individual roll is not 6})^5 = \left(\frac{5}{6}\right)^5$$

Esto equivale a $1 - P$ où $P$ es lo que escribió, como $$1 - P = 1 - \frac{1}{6}\left(\frac{5}{6} + \cdots + \left(\frac{5}{6}\right)^4\right) = 1 - \frac{1}{6}\frac{1-(5/6)^5}{1 - 5/6} = \frac{1}{6}\frac{(5/6)^5}{1/6} = \left(\frac{5}{6}\right)^5$$