Campo de división de un polinomio separable en un campo finito

Question

Dejemos que $F_2$ sea el campo con 2 elementos.

(a) Factorizar el polinomio $ f(x) = x^4+x^2+x+1 \in F_2[x]$

en factores irreducibles en el anillo $F_2[x]$ .

(b) Que $E$ sea el campo de división de f sobre $F_2$ . ¿Cuántos elementos tiene $E$ ¿tiene?

He calculado la solución para (a) como

$x^4+x^2+x+1 = (x^3+x^2+x+1)*(x+1)$

Para (b) he descubierto que (x+1) es redundante porque ya se divide en $F_2$

Quiero encontrar el campo de división $E$ explícitamente. Creo que está dada por $F_{2^3}$ pero no sé cómo demostrarlo. ¿Puede alguien ayudarme?

Creo que el campo de división de un polinomio irreducible $f \in F_p[X]$ con $deg(f) = n$ es siempre isomorfo a $F_{p^n}$ pero no encuentro esa afirmación en ningún sitio. ¿Es cierto?

Answer 1

Su factorización de $p(x) =x^4+x^2+x+1$ se equivoca.

De hecho, ha

$$p(x) = (x^3+x^2+1)(x+1)$$

$q(x) = x^3+x^2+1$ es irreducible ya que es de grado $3$ y tampoco $0$ ni $1$ son raíces de $q$ .

En efecto, el campo de división de un polinomio irreducible $f \in \mathbb F_p[X]$ con $deg(f) = n$ es siempre isomorfo a $\mathbb F_{p^n}$ . ¿Por qué?

A campo de rotura $\mathbb F_p \subset \mathbb F_p(a) \cong \mathbb F_p[x]/(f)$ es una extensión de campo que puede verse como un espacio vectorial de dimensión $\deg f = n$ en $\mathbb F_p$ . Por lo tanto, tiene $p^n$ y es isomorfo a $\mathbb F_{p^n}$ . $a$ es una raíz del polinomio $x^{p^n} -x$ et $f$ divide $x^{p^n} -x$ . El campo de división de $x^{p^n} -x$ , a saber $\mathbb F_{p^n}$ es una extensión algebraica de $\mathbb F_p(a)$ . Como ambos tienen $p^n$ elementos, son iguales.