Una cuestión de topología general

Question

Motivado por esto pregunta preguntamos:

Hasta el homeomorfismo, ¿existe sólo un número finito de espacios topológicos hausdorff localmente compactos conectados $X$ tal que $X$ tiene un conjunto abierto $U$ homeomorfo a $\mathbb{R}$ tal que $X-U$ es homeomorfo a $\mathbb{R}$ ¿También? (Obsérvese que sólo hay una posibilidad desconectada, por lo que añadimos el supuesto de conectividad)

Answer 1

Hay un continuo de pares cerrados no homeomórficos $1$ -subespacios dimensionales $\ X\ $ de $\ \mathbb R\times[0;\infty)\ $ que contienen $\ \mathbb R\times\{0\},\ $ y tal que $\,\ X\,\setminus\,(\mathbb R\times\{0\})\,\ $ es homeomorfo a $\ \mathbb R$ .

La construcción Una línea que va desde lo alto hasta lo bajo. $\ y=0,\ $ entre $\ x=-1\ $ a $\ x=1\ $ de la siguiente manera: pasa una vez de $\ x=0\ $ a $\ x=-1,\ $ y de vuelta a $\ x=0;\ $ Luego va un par de veces de ida y vuelta de $\ x=0\ $ a $\ x=1;\ $ luego lo mismo una y otra vez, salvo que los números de las repeticiones de la derecha forman una secuencia infinita de enteros no negativos $\ n_1\ n_2\ \ldots\ $ Entonces tal $\ (n_1\ n_2\ \ldots)\ $ et $\ (m_1\ m_2\ \ldots)\ $ las curvas son homeomórficas $\ \Leftrightarrow\ \exists_{\nu\ \mu}\forall_{k\ge 0}\ n_{\nu+k}=m_{\mu+k}.\ $ Estas dos secuencias de números enteros se denominan (y realmente son :-)) equivalentes. Pero hay un continuo de secuencias no equivalentes de este tipo.

Prueba   Hay que considerar la secuencia, en una de esas curvas, de puntos para los que la coordenada x es $\ \frac{-1}2,\ $ y la secuencia de puntos cuya coordenada x es $\ \frac{1}2.\ $ Consideremos un homeomorfismo sobre otra curva de este tipo. Observa la imagen de las dos secuencias mencionadas. Etc.

OBSERVACIÓN 0   Para demostrar que existe un continuo de tales curvas no-homeográficas basta con considerar sólo las secuencias 0-1 o las secuencias 1-2.

OBSERVACIÓN 1   Una curva $\ (n_1\ n_2\ \ldots)\ $ admite un auto-homeorfismo que invierte la orientación de $\ \mathbb R\times\{0\}\ \Leftrightarrow\ $ todos los enteros $\ n_k\ $ son iguales a 1 pero para un número finito de excepciones, o cuando todos $\ n_k\ $ son iguales $\ 0\ $ pero para un número finito.

OBSERVACIÓN 2   En lugar de $\ \mathbb R\times\{0\},\ $ se puede tomar cualquier intervalo cerrado (o abierto, o semiabierto -- de cualquier manera) que contenga $\ (-1;1)\times\{0\}\ $ (pero en aras de la OBSERVACIÓN 1, la naturaleza simétrica de los puntos $\ (-1\ 0)\ $ . y $\ (1\ 0)\ $ debe conservarse).

Una construcción similar o posiblemente casi idéntica (pero con detalles triviales) fue inventada por Zenon Waraszkiewicz (1909-1946); hoy sus curvas se llaman Espirales Waraszkiewicz . Quizás alguien pueda encontrar su descripción en la literatura. Estas espirales dieron un continuo de curvas compactas no homomórficas en $\ \mathbb R^2$ . EDITAR Si recuerdo bien, la espiral de Waraszkiewicz consiste en un círculo, y en una espiral que se aproxima al círculo desde (digamos) el exterior, y que hace un ciclo casi perfecto alrededor del círculo hacia la izquierda (es decir, en contra del reloj) unas cuantas veces, luego hacia la derecha unas cuantas veces, etc. Incluso se puede suponer que sólo hay ciclos simples a la izquierda y múltiples a la derecha (cada vez un número positivo). La construcción parece un poco diferente, pero la idea de la prueba es la misma (al menos en mi interpretación; sin embargo, una prueba es natural).