Palabras en la categoría de conjuntos

Question

Me preguntaba acerca de los objetos en diferentes categorías y las "palabras" en esas categorías. Creo que me tienen en general una buena comprensión de la idea, pero empecé a pensar acerca de extranjero libre de objetos como objetos libres en la categoría de Conjuntos, Anillos, Campos y Módulos, así como las hipotéticas estructuras con ternario+ operaciones. Entiendo que la característica universal de la libre grupos, y en cierta medida arbitraria de las categorías, pero no puedo comprender plenamente el análogo de "palabras" en otros objetos. Libre de Conjuntos sería extraño, ¿qué sería de las palabras de la libre conjuntos de parecerse a si que, incluso, podría tener sentido? Estaba pensando que podría ser el conjunto de todos los singleton conjuntos de cada elemento en su generación, de manera que las únicas palabras son los elementos reales de la serie. O podría ser útil para definir como el conjunto vacío? Yo no tengo ni idea. Cualquier idea es totalmente bienvenida.

Answer 1

Si $C$ hormigón es una categoría, es decir, una categoría equipado con un fiel functor $U : C \to \mathsf{Set}$, entonces el libre $C$-objeto a través de un conjunto $X$ es, por definición, un objeto $F(X)$ que se cumple la característica universal $\hom(F(X),A) \cong \hom(X,U(A))$, de forma natural en $A \in C$. Si $C=\mathsf{Set}$ y elegimos (¿qué otra cosa?) $U=\mathrm{id}$, entonces es claro que tenemos $F(X)=X$ por cada $X$. El conjunto libre en un conjunto $X$ es sólo $X$. También se puede ver como el subproducto (aquí: discontinuo de la unión) de libre establece en un generador, y el conjunto libre en un generador es la de un elemento de conjunto. Cada $x \in X$ también es una palabra que en el conjunto libre en $X$, pero no hay ninguna posibilidad (o necesidad) a combinar dos palabras.

Si tenemos en cuenta la categoría de punta conjuntos de $\mathsf{Set}_*$ con la habitual olvidadizo functor $(X,*) \mapsto X$, entonces el libre acentuados en un conjunto $X$ resulta ser $X \sqcup \{*\}$ (le adhieren formalmente un nuevo punto).

Aquí es más interesante ejemplo: Un magma es sólo un conjunto junto con una operación binaria (no hay reglas, tales como la asociatividad son necesarios). Tenemos el hormigón de la categoría de los magmas. La libre magma en un conjunto $X$ se compone de palabras tales como $((x_1 x_2) x_3) (x_4 x_5)$. Usted puede ver estas palabras como finitos binarios árboles cuyas hojas están marcadas con los elementos de $X$.

       .
      / \
     /   \
    /\   /\
   / x3 x4 x5
  /\    
 /  \   
x1  x2

La libre $R$-módulo sobre un conjunto $X$ se compone de formal combinaciones lineales $\sum_{x \in X} \lambda_x \cdot x$ donde $\lambda_x \in R$, casi todos los $\lambda_x=0$, de modo que este es un finito suma. La libre $R$-álgebra en un conjunto $X$ (donde $R$ es un anillo conmutativo) es el polinomio de álgebra $R[\{T_i\}_{i \in X}]$ cuyo indeterminates son indexados por $X$.

No hay campos libres en un conjunto, aunque no en el conjunto vacío, ya que no hay campo inicial. Más bien, para cada número primo $p$ resp. $p=0$, hay un campo inicial de la característica $p$, es decir, $\mathbb{F}_p$ resp. $\mathbb{Q}$. El anillo sin el carácter $p$ en un generador de se $\mathbb{F}_p[T]$, pero con el fin de obtener un campo libre, tendríamos que mod algunas polinomio irreducible, pero no hay tal polinomio es universal. También podríamos tomar el campo de fracciones de $\mathbb{F}_p(T)$, pero este es el campo libre de la característica $p$ en una sola trancendental generador.

Observe que la definición de objetos libres también funciona si $C$ no es una categoría de estructuras algebraicas. Considerar, por ejemplo,$C=\mathsf{Top}$, la categoría de espacios topológicos. A continuación, $F(X)$ es fácilmente visto a $(X,\wp(X))$, es decir, el conjunto $X$ equipado con la topología discreta.