Te interesa el conjunto de números que se pueden escribir como $ax+by$ con $x,y \in \mathbb{N}$ . Así que dejemos $n \ge (a-1)(b-1)$ sea un número entero, nos interesa resolver la ecuación $ax+by = n$ en $\mathbb{N}^2$ .
Desde $a$ et $b$ son coprimos, se puede encontrar $u,v \in \mathbb{Z}$ tal que
$$au + bv = 1$$
Multiplicando la ecuación anterior por $n$ obtenemos
$$aun + bvn = n$$
Y para todos $k \in \mathbb{Z}$ tenemos
$$a (un+kb) + b (vn-ka) = n$$
Así que las parejas $(un+kb,vn-ka)$ son soluciones en $\mathbb{Z}^2$ de nuestra ecuación (y puede comprobar que esas son las únicas soluciones en $\mathbb{Z}^2$ pero no necesitaremos ese resultado). Demostremos que podemos elegir un valor de $k$ tal que $(un+kb,vn-ka)$ se encuentra en $\mathbb{N}^2$ : Supongamos que $a\ge 2$ (al menos uno de ellos es $\ge 2$ , simplemente asumimos que es $a$ ), eligió el más pequeño posible $k$ tal que $un+kb \ge 0$ por lo que su valor está entre $0$ et $b-1$ y obtenemos
$$b(vn-ka) = n - (un+kb) \ge (a-1)(b-1)-(b-1) = (a-2)(b-1) \ge 0$$
que concluye. Para más información, puede consultar el Problema de la moneda .
