Dejemos que $G/Z(G)$ sea un conjunto localmente finito $p$ -Grupo. Tengo que demostrar que $G'$ es un localmente finito $p$ -también el grupo. La sugerencia es utilizar el teorema de Schur, pero no puedo averiguar cómo obtener algo así como un subgrupo de índice finito. Se agradece cualquier ayuda.
Respuesta
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Tenemos que demostrar que para cualquier subconjunto finito $S$ de $[G,G]$ (No me gusta usar $G'$ para el grupo derivado), el subgrupo $\langle S \rangle$ de $G$ generado por $S$ es un finito $p$ -grupo.
Cada elemento de $S$ es un producto $[g_1,h_1][g_2,h_2]\cdots [g_n,h_n]$ de conmutadores de elementos de $G$ . Para cada elemento de $S$ . elija un producto de este tipo, y deje que $T$ sea el conjunto finito formado por todos los elementos $g_i,h_i$ que aparecen en cualquiera de estas expresiones para los elementos de $S$ . Entonces, claramente $\langle S \rangle \le [T,T]$ .
Desde $G/Z(G)$ es un lugar finito $p$ -grupo, $T/Z(T)$ es un finito $p$ -grupo. El Teorema de Schur dice ahora que $[T,T]$ es finito, y si miras la prueba verás que en realidad se demuestra que es finito de exponente dividiendo $|T/Z(T)|$ . Así que $[T,T]$ es un finito $p$ -y por lo tanto también lo es $\langle S \rangle$ .
