Pregunta sobre la notación, $x=1,2,3...$ ou $x\in \mathbb N$ ?

Question

En mi reciente examen, mi profesor escribió una nota diciendo que la siguiente notación no debería usarse cuando se habla de dominios, y no estoy seguro de por qué es importante. Así que, mi pregunta:

Utilizaré un ejemplo concreto, pero hablo en general cuando se trata de la notación. Cuando se da una función de la forma

$$f(x) = \cases{ g(x) & if $ x=1,2,3,... $ \\ h(x) & if $ x= -1, -2, -3, .. $}$$

¿Es incorrecto escribirlo como:

$$f(x) = \cases{ g(x) & if $ x\in \mathbb N $ \\ h(x) & if $ x\in \mathbb Z<0 $}$$

Siempre he tenido curiosidad por saber por qué no se utiliza esta notación en los libros de texto, y el comentario de mi profesor sobre mi examen despertó mi curiosidad lo suficiente como para publicarlo aquí.

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EDIT: Debo mencionar que vengo de una formación de física e ingeniería, no de matemáticas.

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Gracias.

Answer 1

Ignorando la cuestión de la condición de cero con respecto a $\mathbb{N}$ : Hay cierta flexibilidad y soltura en la notación que la mayoría de la gente permite, pero $$x \in \mathbb{Z} \lt 0$$ simplemente no funciona (para mí).

He aquí la razón: la gente suele escribir $$a R_1 b R_2 c$$ como abreviatura de $$a R_1 b \text{ and } b R_2 c,$$ donde $a$ , $b$ y $c$ son variables o constantes y $R_1$ y $R_2$ son una relación binaria. Así que se puede escribir $a \lt b \lt c$ para significar $a\lt b$ y $b \lt c$ o incluso $0 \lt x \in \mathbb{R}$ para significar $0 \lt x$ y $x \in \mathbb{R}$ pero su expresión me deja con $\mathbb{R} \lt 0$ para la segunda mitad, que es confusa o sin sentido.

Supongo que podrías mantenerte dentro de los límites que he prescrito y escribirlo como $$0 \gt x \in \mathbb{N},$$ que, si me lo encontrara, pensaría "Hmm, eso es un poco raro, nunca lo he visto antes", pero me quedaría claro lo que quieres decir. Las matemáticas son un lenguaje y hay un montón de frases que son gramaticales y que podrías escribir, pero la gente generalmente no escribe. Así que usarlas añade un poco de confusión innecesaria que probablemente es mejor evitar si se puede.

En cualquier caso, me parece que tu primera forma de escribirlo es más directa y la prefiero. También te permite evitar todo el alboroto sobre $0 \in \mathbb{N}$ frente a $0 \notin \mathbb{N}$ que se ve en los comentarios.