Determinar si las relaciones de cada problema son o no simétricas, transitivas y/o reflexivas

Question

Para cada una de las siguientes relaciones sobre el conjunto de todos los números enteros, determine si la relación es reflexiva, simétrica y/o transitiva:

a. (,) si y sólo si <.

b. (,) si y sólo 1.

c. (,) si y sólo =.

d. (,) si y sólo =||

He hecho algunos intentos de resolver estos, por supuesto, pero sólo han dado respuestas adecuadas para b y d, que sé que son simétricos / transitivos, y únicamente simétricos, respectivamente (a menos que haya cometido algunos errores en la deducción de esto que definitivamente no está fuera de la cuestión). Incluso traté de buscar en post como el de abajo para determinar si lo que estaba haciendo era correcto o no, pero no proporcionó mucho que realmente pudiera utilizar.
Agradezco su ayuda y asistencia

Determina si las relaciones son simétricas, antisimétricas o reflexivas.

Answer 1

En este tipo de ejercicio, hay que aplicar el definición de este tipo de relaciones y hay que hacerse las preguntas adecuadas:

• Reflexividad para todos $x$ ¿es cierto que $$x < x \text{ (a). }\\ x^2 \ge 1 \text{ (b). }\\ x = -x \text{ (c). }\\ x = |x| \text{ (d). }$$

• Simetría para todos $x$ y $y$ ¿es cierto que $$x<y \implies y<x \text{ (a). }\\ xy \ge 1 \implies yx \ge 1 \text{ (b). }\\ x = -y \implies y = -x \text{ (c). }\\ x = |y| \implies y = |x| \text{ (d). }$$

• Transitividad para todos $x,y,z$ ¿es cierto que $$x<y \text{ and } y<z \implies x<z \text{ (a). }\\ xy \ge 1 \text{ and } yz \ge 1 \implies xz \ge 1 \text{ (b). }\\ x = -y \text{ and } y = -z \implies x = -z \text{ (c). }\\ x = |y| \text{ and } y = |z| \implies x = |z| \text{ (d). }$$

¿Puedes terminar? Si tienes una pregunta no lo dudes.