Si $(X_i)_{i=1}^{20}\sim N_6(\mu,\Sigma),$ entonces encuentre la distribución de
$$ (X_1-\mu)^T\Sigma^{-1}(X_1-\mu)$$
La solución es $\chi^2_6,$ pero ¿podría alguien mostrar por qué? Sólo sé que la suma de variables normales estándar es a su vez chi-cuadrado, pero no estoy seguro de cómo abordar esto.
La versión (finito-dimensional del) teorema espectral tiene un corolario rápido que dice que una matriz real simétrica positiva-definida $\Sigma$ tiene una raíz cuadrada real simétrica positiva-definida $\Sigma^{1/2},$ y la inversa de $\Sigma^{1/2}$ es la raíz cuadrada real simétrica positiva-definida de $\Sigma^{-1},$ y lo denotamos $\Sigma^{-1/2}.$ Así que $$ \Sigma^{-1/2} (X_1-\mu) \sim \operatorname N_6(0, I_6). $$ Por lo tanto, la distribución de la suma de los cuadrados de los componentes es $\chi^2_6.$
Sin embargo, esto no funciona si $\Sigma$ es singular. Pero si $\Sigma$ es no negativo-definido y simétrico y tiene entradas reales entonces $(X_1-\mu)^T \Sigma^{-1} (X_1-\mu) \sim \chi^2_{\operatorname{rank}\Sigma}$ (donde $\text{“ } \Sigma^{-1}\text{ ''}$ denota una especie de inversa generalizada, cuyos detalles se omiten aquí).
Así que una pregunta es: ¿conoces el teorema espectral?
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
