Si $a^HUa=0$ para todos $a$ ¿podemos concluir que $U=0$ ?

Question

Tengo la siguiente ecuación: $a^HUa=0$ donde ' $a$ puede ser cualquier vector arbitrario y $U$ es una matriz ( $H$ significa Hermitiano). ¿Podemos concluir que $U=0$ ? ¿Alguna referencia?

Gracias.

Answer 1

Podemos concluir que $U$ debe ser una matriz cuadrada para que la expresión implicada tenga sentido. Sea $U$ ser un $n\times n$ matriz.

$$ \text{ the $ i $th component of vector $ Ua $: } (Ua)_i = \sum_{k=1}^n U_{ik}a_{k}. $$

y de manera similar $$ \begin{align*} a^HUa &= \sum_{j = 1}^n a^H_{j} (Ua)_j \\ &= \sum_{j} \sum_{k} a_j^*U_{jk}a_k \end{align*} $$

Dejemos que $a_j = \delta_{r,j}$ que es $1$ solo índice $r$ y cero en el resto. Entonces, $$ a^HUa = 0 = U_{rr} $$ Así que se puede concluir que la diagonal de $U$ es cero.

Dejar $a_j = (1, 0, \dots, 1, \dots, 0)$ (a $1$ en el $s$ y $t$ de los lugares).

Entonces tienes $U_{st} + U_{ts} = 0$ . Así que la matriz es antisimétrica.

Intentemos lo mismo con $i$ y $1$ . Entonces tenemos $$ (-i)U_{st} + iU_{ts} = 0 $$

Así, los elementos no diagonales son antisimétricos e iguales, por lo que cero . QED