Hace tiempo que me intriga la similitud formal de los resultados de diferentes áreas de las matemáticas. He aquí algunos ejemplos.
Teoría de conjuntos Dado un mapa $f:X\to Y$ y subconjuntos $X' \subset X, Y'\subset Y$ tenemos $$f(f^{-1}(Y')\cap X')=Y'\cap f(X')$$
Espacios anillados Dado un morfismo de espacios anillados $f:X\to Y$ , un $\mathcal O_X$ -Módulo $\mathcal F$ y un módulo localmente libre de tipo finito $\mathcal L$ tenemos $$f_\ast(f^\ast{\mathcal L}\otimes_{\mathcal O_X} \mathcal F)=\mathcal L \otimes_{\mathcal O_Y} f_{\ast}\mathcal F$$
Topología Consideremos un mapa continuo propio de las variedades orientadas conectadas $f:X\to Y$ , entonces para $x\in H^\ast _c(X,\mathbb Z)$ y $y\in H^\ast _c(Y ,\mathbb Z)$ tenemos (Dold, p.314)
$$ f_!(f^\ast y . x)=y. f_!(x)$$
Anillos de chocolates Dado un mapa propio $f:X\to Y$ entre variedades algebraicas no singulares y clases de ciclos $a\in CH^\ast(X), \beta \in CH^\ast(Y)$ tenemos
$$ f_\ast(f^\ast \beta . \alpha)=\beta. f_\ast(\alpha) $$
K-teoría Dado un morfismo propio de dimensión Tor finita $f:X\to Y$ entre esquemas (y asumiendo $X$ y $Y$ tienen haces de líneas amplios adecuados), Quillen demostró en su artículo fundamental sobre la teoría K superior (Springer LNM 341, página 126) que para $x\in K_0(X)$ y $y\in K'_0(Y)$
$$f_\ast(f^\ast y . x)=y. f_\ast (x) $$
Categorías derivadas Dado un morfismo de anillo $f:R\to S$ , un complejo superior acotado $A$ de $R$ -y un complejo $B$ de $S$ -obtenemos en $\mathbb D(R)$ (Weibel, p.404) $$ f_\ast(\mathbb L f^\ast( A) \otimes_S^{\mathbb L} B)=A \otimes_R^{\mathbb L} (f_\ast B)$$
La pregunta Por supuesto, soy muy consciente de que hay fuertes vínculos entre, por ejemplo, la teoría K y los anillos de Chow, y que los ejemplos de fórmulas de proyección no son independientes. Lo que me gustaría saber es si hay algún contexto general del que se pueda decir que estos ejemplos son ilustraciones, aunque no sean casos particulares en sentido estricto. Una analogía sería que la teoría de Galois de Grothendieck explica la similitud entre la teoría de Galois tradicional de los campos y la teoría de los espacios de cobertura, aunque no es cierto que la teoría general de las coberturas topológicas sea un caso especial de los resultados de Grothendieck.
Editar Después de ver varios comentarios y una respuesta, me gustaría aclarar mi pregunta. No se trata principalmente de encontrar una formulación general de la que todos esos resultados sean un caso especial (aunque ciertamente estaría bien). Sino más bien saber si existe un resultado o teoría poderosa, presumiblemente dura, que implicaría buena parte de los ejemplos mencionados. Tal vez un poco como la teoría K utilizada para Riemann-Roch , la periodicidad de Bott, la clasificación de los haces vectoriales...
