Demostrar que si $a,b,$ y $c$ son números reales positivos, entonces $\frac{a^3}{a^3+2b^3}+\frac{b^3}{b^3+2c^3}+\frac{c^3}{c^3+2a^3} \geq 1.$

Question

Demostrar que si $a,b,$ y $c$ son números reales positivos, entonces $$\dfrac{a^3}{a^3+2b^3}+\dfrac{b^3}{b^3+2c^3}+\dfrac{c^3}{c^3+2a^3} \geq 1.$$

Esta pregunta parece difícil ya que no se nos da ninguna otra información sobre $a,b,c$ . Creo que ampliarlo podría llegar a algún sitio, pero no veo que Cauchy-Schwarz o AM-GM lleven a ningún sitio.

Answer 1

Dejemos que $x=a^3$ , $y=b^3$ , $z=c^3$ . Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

$$\left(\sum_{\text{cyc}}\frac{x}{x+2y}\right)\ge \frac{(x+y+z)^2}{\left(\sum_{\text{cyc}} x(x+2y)\right)}=1$$

La igualdad se mantiene si $\frac{\frac{x}{x+2y}}{x(x+2y)}=\frac{\frac{y}{y+2z}}{y(y+2z)}=\frac{\frac{z}{z+2x}}{z(z+2x)}$ es decir, si $x+2y=y+2z=z+2x$ ,

es decir, si $y=2z-x=2x-z$ es decir, si $x=y=z$ es decir, si $a=b=c$ .

---

Es un truco bastante estándar para desigualdades similares.

En primer lugar, observe que $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ para todos $a,b,c\in\mathbb R$ porque esto equivale a $\frac{1}{2}\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)\ge 0$ que es verdadero (o por el Desigualdad de reordenamiento ).

Por ejemplo, si $a,b,c>0$ y $n\in\mathbb Z^+$ Entonces:

$$\sum_{\text{cyc}}\frac{a}{b+nc}\ge \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{\text{cyc}}a(b+nc)}=\frac{\sum_{\text{cyc}}a^2+2\sum_{\text{cyc}}ab}{(n+1)\sum_{\text{cyc}}ab}$$

$$\ge \frac{\sum_{\text{cyc}}ab+2\sum_{\text{cyc}}ab}{(n+1)\sum_{\text{cyc}}ab}=\frac{3}{n+1}$$

$n=1$ da La desigualdad de Nesbitt .