El problema
Dejemos que $\{p_i \}_{0 \leq i \leq n}$ sea una probabilidad discreta sobre un conjunto de números positivos $\{a_i \}_{0 \leq i \leq n}$ (con $\forall i:p_i \geq 0 \text{ and } a_i \geq 0 $ et $\sum_{i=0}^{n} p_i =1$ ).
Estoy bastante convencido, desde el punto de vista de mi aplicación (ver más abajo), de que si escalo el elemento más grande $a_k$ de mi conjunto de la siguiente manera: $$a_k \to \lambda a_k \text{ with } \lambda > 1$$ entonces la relación entre el segundo momento y el cuadrado del primero $$ \frac{\langle X^2 \rangle}{\langle X \rangle^2}= \frac{\sum_{i=0}^{n}p_i a_i^2}{\left( \sum_{i=0}^{n}p_i a_i \right)^2 }$$ debería aumentar.
Lo que he probado
He escrito $$ \frac{\sum_{i=0}^{n}p_i a_i^2}{\left( \sum_{i=0}^{n}p_i a_i \right)^2 } = \frac{\sum_{i\neq k}p_i a_i^2+p_k a_k^2}{ \sum_{i,j \neq k}p_i p_j a_i a_j + 2 p_k a_k \sum_{i \neq k}p_i a_i + p_k^2 a_k^2}$$ Luego escribí mi suposición de que esta relación es creciente al reescalar $a_k$ : $$ \frac{\sum_{i\neq k}p_i a_i^2+p_k \lambda^2 a_k^2}{ \sum_{i,j \neq k}p_i p_j a_i a_j + 2 p_k \lambda a_k \sum_{i \neq k}p_i a_i + p_k^2 \lambda^2 a_k^2} > \frac{\sum_{i\neq k}p_i a_i^2+p_k a_k^2}{ \sum_{i,j \neq k}p_i p_j a_i a_j + 2 p_k a_k \sum_{i \neq k}p_i a_i + p_k^2 a_k^2}$$ Después de un poco de reorganización algebraica, terminé con: $$ \sum_{i\neq k}p_i a_i^2 \left(2 \sum_{i\neq k}p_i a_i + p_k a_k \right) + a_k \left( \sum_{i,j \neq k}p_i p_j a_i a_j \right) (\lambda^2 - 1) + \lambda^2 \left( p_k a_k \sum_{i\neq k}p_i a_i (a_k - a_i) \right) + 2 \lambda \sum_{i\neq k}p_i a_i \left( \sum_{i\neq k}p_i a_k^2-\sum_{i\neq k}p_i a_i^2 \right) + \sum_{i\neq k}p_i a_i a_k^2 \lambda \left( \lambda p_k - 2 \right) > 0$$ Me parecen bien todos los términos menos el último, que sólo es positivo bajo ciertas limitaciones que no quiero.
¿Estoy yendo por el camino equivocado en esto? ¿O es que no veo lo evidente?
La aplicación
En la química/física de los polímeros, $\frac{\langle X^2 \rangle}{\langle X \rangle}$ se llama la media del peso y $\langle X \rangle$ la media de los números. Siempre se afirma que tener más cadenas largas aumenta la media del peso más de lo que aumenta la media del número y quería entender eso para un ejemplo sencillo (intuitivamente, suena muy convincente, pero quiero mostrarlo formalmente para un caso sencillo).
