Probando $(A \cup B) -C = (A-C) \cup (B-C)$

Question

Probando $(A \cup B) -C = (A-C) \cup (B-C)$

Lo hice de la siguiente manera, pero no estoy seguro del método. Hágame saber si hay un fallo.

Dejemos que $x \in (A \cup B) -C $ $$ x \in (A \cup B) \land x \notin C \\ (x \in A \lor x \in B) \land x \notin C\\ (x \in A \land x \notin C) \lor ( x \in B\land x \notin C) \\ x \in (A-C) \lor x \in (B-C) \\ x \in (A-C) \cup (B-C) \\ \therefore (A \cup B) -C \subseteq (A-C) \cup (B-C) ----1 $$

Entonces dejemos que $y \in (A-C) \cup (B-C)$ $$ y \in (A-C) \lor y \in (B-C) \\ (y \in A \land y \notin C) \lor ( y \in B\land y \notin C) \\ (y \in A \lor y \in B) \land y \notin C\\ y \in (A \cup B) \land y \notin C \\ y \in (A \cup B) -C \\ \therefore (A-C) \cup (B-C) \subseteq (A \cup B) -C ----2 $$

Mediante 1 y 2 se demuestra la identidad requerida.

Answer 1

A mí me parece bien, pero se podría hacer más sencillo. Cada paso en su prueba de $(A\cup B)-C\subseteq (A-C)\cup (B-C)$ es realmente reversible, por lo que se puede decir que eso ya es una prueba de igualdad.

Más sencillo aún, ni siquiera tienes que tomar $x$ del conjunto, ya que se sabe que para tres conjuntos cualesquiera $X,Y$ :

• $(X\cup Y)\cap Z = (X\cap Z)\cup(Y\cap Z)$
• $X-Y=X\cap Y^c$

Usando sólo estas dos reglas, se obtiene rápidamente:

$$(A\cup B)-C = (A\cup B)\cap C^c = (A\cap C^c)\cup (B\cap C^c) = (A-C)\cup (B-C)$$