Cualquier $\ T_0$ El espacio que tiene una base formada por conjuntos cerrados (por tanto, clopen) es totalmente desconectado. ¿Un espacio totalmente desconectado tiene necesariamente una base formada por conjuntos cerrados?
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Varios ejemplos de este tipo se mencionan en los lugares habituales donde se buscan contraejemplos en topología general.
Artículo de Wikipedia sobre espacios totalmente desconectados menciona El espacio de Erdős . El mismo espacio se menciona también como ejemplo 6.2.19 en Ryszard Engelking: Topología general , Heldermann Verlag, Berlín, 1989. La prueba que doy a continuación es esencialmente la misma que en el libro de Engelking.
Si miramos a Steen-Seebach: Contraejemplos en topología nosotros descubrimos de Figura 9, p. 32 que otros ejemplos de $T_2$ -espacios, que están totalmente desconectados pero no de dimensión cero deberían ser los Ejemplos 72 (Extensión racional en el plano), 79 (Topología de celosía irregular), 113 (Topología de ultrafiltro fuerte), 127 (Subespacio de celosía de Roy), 129 ( Fan de Knaster-Kuratowski también conocido como El teepe de Cantor ).
Se pueden encontrar varios ejemplos en pi-base .
El espacio de Erdős
$\newcommand{\ve}{\varepsilon}\newcommand{\norm}[1]{\lVert{#1}\rVert}$ Consideremos el espacio $$X=\ell_2\cap \mathbb Q^{\mathbb N}=\{(x_i); \sum {x_i}^2<\infty, (\forall i) x_i\in\mathbb Q\}$$ de todas las secuencias de números racionales que pertenecen a $\ell_2$ . Dotamos a este espacio de la métrica derivada de la habitual $\ell_2$ norma, es decir $$d(x,y)=\norm{x-y}_2 = \sqrt{\sum (x_i-y_i)^2}.$$
El espacio de Erdős está totalmente desconectado: Si $a\ne b$ entonces tenemos al menos una coordenada tal que $a_i\ne b_i$ . Suponemos que $a_i<b_i$ . Elegimos un número irracional arbitrario $z$ tal que $a_i<z<b_i$ . Los conjuntos $U_{i,z}=\{x\in X; x_i<z\}$ et $V_{i,z}$ son abiertos, disjuntos y su unión es todo el espacio $X$ . (Para cualquier $x\in U_{i,z}$ et $\ve<z-x_i$ el $\ve$ -bola alrededor $x$ es un subconjunto de $U_{i,z}$ . El mismo argumento demuestra que $V_{i,z}$ está abierto). Así que hemos encontrado dos subconjuntos clopen de $X$ de manera que uno de ellos contenga $a$ y el otro contiene $b$ . Por lo tanto, los componentes conectados de $X$ son unipersonales, es decir, está totalmente desconectado.
El espacio de Erdős no es de dimensión cero: Dejemos que $V=B(0,1)=\{x\in X; \norm{x}_2\le 1\}$ . Intentaremos demostrar que ningún barrio abierto $U$ de $0$ tal que $U\subseteq V$ está cerrado.
Por inducción definimos una secuencia $(a_k)$ de racionales tal que para la secuencia dada por $$x_k=(a_1,\dots,a_k,0,0,\dots)$$ tenemos $x_k\in U$ et $d(x_k,X\setminus U)\le\frac1k$ .
Para $k=1$ podemos elegir $a_1=0$ .
Si $a_1,\dots,a_{k-1}$ ya están elegidos, consideramos los números $\frac i{k}$ , $i=0,\dots,k$ como posibles candidatos para $a_k$ . Si elegimos $a_k=\frac ik$ de tal manera que $(a_1,\dots,a_{k-1},\frac ik,0,0,\dots)\in U$ et $(a_1,\dots,a_{k-1},\frac {i+1}k,0,0,\dots)\notin U$ entonces está claro que $x_k\in U$ et $d(x_k,X\setminus U)\le\frac1k$ .
Ahora dejemos que $x=(a_k)$ . Desde $\norm{x_k}_2^2 = \sum_{i=1}^k a_i^2 < 1$ tenemos que $\sum_{i=1}^\infty a_i^2 \le 1$ et $x\in X$ .
También vemos que la secuencia $x_k$ converge a $x$ y por lo tanto $x\in \overline U$ .
La condición $d(x_k,X\setminus U)\le\frac1k$ implica que existe una secuencia $(v_k)$ de elementos de $X\setminus U$ tal que $d(x_k,v_k)\le\frac1k$ . Desde $x_k\to x$ vemos que también $v_k\to x$ y por lo tanto $x\in\overline{X\setminus U}$ .
Hemos demostrado que $\overline U \cap \overline{X\setminus U}\ne\emptyset$ Por lo tanto $U$ no puede ser clopado. $\hspace{2cm}\square$
Para el origen de este ejemplo, cito el libro de Engelking:
El ejemplo 6.2.19 fue descrito en el artículo de Erdős [1940] (el primer ejemplo de un espacio métrico separable con propiedades similares fue definido por Sierpinski en [1921]; el espacio de Sierpinski es, además, completamente metrizable).
