Derivadas con sustitución trigonométrica

Question

En este integral cómo consiguen $$dx=2\sec^2\theta \ d\theta$$ Aquí está la integral: $$\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}=\int\frac{2\sec^2d\theta}{\mathrm{4\tan^2\ \theta}\!\cdot\!\mathrm{2\sec\ \theta}}=\frac{1}{4}\int\frac{sec\ \theta}{tan^2\ \theta} \ d\theta$$

Si $$u=tan\ \theta$$ entonces se deduce que $$d\theta=sec^2\ d\theta$$

Con la sustitución, ahí radica mi confusión.

La sustitución correcta: $$u=2\tan\ \theta$$

Answer 1

Aquí,

$ x = 2 \tan θ $ es la sustitución, lo que implica que $ dx = 2\sec ^2θ .dθ$

El primer objetivo aquí es deshacerse de la raíz cuadrada en el denominador, que es la razón principal por la que $ 2 \tan θ $ se sustituye por $ \tan θ $ .

Ahora, $$ \int \frac {dx}{x^2 \sqrt {x^2 + 4}}$$ $$ = \int \frac {2\sec^2 θ \,dθ } {4 \tan^2 θ \sqrt{4(\tan^2 θ + 1)}}$$ $$ = \int \frac {2\sec^2θ \, dθ}{4 \tan^2 θ \,2\secθ} $$ $$ = \frac {1}{4} \int \frac {\sec θ}{\tan^2 θ} \,dθ $$ (como usted dijo. Aquí estoy asumiendo que hasta ahora, has hecho la integral correctamente. Si es así, entonces esta es la forma en que se continúa:) $$ = \frac {1}{4} \int \operatorname{cosec} \,θ \cot θ \,dθ $$ $$ = \frac {1}{4} (-\sin θ) + c $$ $$ = \frac {-1}{4} \sin (\tan ^{-1}{(x/2))} + c$$ $$ = \frac {-x}{4(\sqrt{x^2 + 4})} + c$$ (En el último paso, he cambiado tan inverso por sin inverso para simplificarlo).