Grupo de Galois de $\prod_{i=1}^{p-1} (X^2-i)$

Question

Dejemos que $p$ sea un primo impar. ¿Cómo puedo calcular el grupo de Galois de $F/Z_p$ donde $F$ es el campo de división de $\prod_{i=1}^{p-1} (X^2-i)$ en $Z_p$ ?

Ya que exactamente $\frac{p-1}{2}$ enteros de $1\leq i\leq p-1$ son las raíces de $X^2-i$ en $Z_p$ escribamos $F=Z_p(\sqrt{i_1},...,\sqrt{i_k})$ donde $k=\frac{p-1}{2}$ y $\sqrt{i_j} \notin Z_p$ .

Esto me lleva a suponer que el grupo de Galois es $(Z_2)^k$ pero, ¿es realmente cierto? ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Hay que tener en cuenta que para cualquier no-cuadrado $x$ y $y$ de $Z_p$ Hay un poco de $a\in Z_p$ tal que $x=a^2y$ . De este modo, una vez que se adosa al campo la raíz cuadrada de uno de tales elementos, se ha adosado la raíz cuadrada de todas las demás raíces. En otras palabras, $$Z_p(\sqrt{i_1},\ldots,\sqrt{i_k})=Z_p(\sqrt{i_l})$$ para cualquier $l$ . Por lo tanto, $F/Z_p$ es cuadrática y el grupo de Galois es simplemente $Z_2$ .