Dada una secuencia de funciones ortogonales sobre algún intervalo, los cuales satisfacen las condiciones de contorno de Dirichlet en ese Intervalo, podemos construir una Sturm Liouville problema que se les da a estos como sus funciones propias?
Por ejemplo, si tomamos la secuencia de la escala de Bessel de las funciones de las $J_n (\zeta_i x)$ para todos los positivos integral de los valores de $i$ donde $\zeta_i$s son las raíces de la función de Bessel. Tenga en cuenta que aquí, $n$ es fijo y no negativo.
Ya sabemos que estos forman una base ortogonal sobre el peso de la función $x$ y el rango de $[0,1]$ tal que $$\int_0^1 J_n (\zeta x)J_n (\zeta_j x) =\frac12 \delta_{ij}(J_n' (\zeta_i ))^2$$
Como el $\zeta_i$s son las raíces (y el de las funciones de Bessel de primera especie son cero en el origen de positivos $n$), ya tenemos $J_n(\zeta_i 0)=J_n(\zeta_i 1)=0$, que es una condición de frontera de Dirichlet en $[0,1]$.
Para mí, este parece ser el de la instalación de un Sturm Liouville problema. Podemos encontrar $p(x)$ $q(x)$ de manera tal que las funciones de $y_i(x)=J_n(\zeta_i x)$ satisfacer $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left[p(x)\frac{\mathrm dy}{\mathrm d x}\right] + q(x)y(x)=\lambda_i xy(x)$$
Actualización: resulta que podamos, para el ejemplo dado anteriormente. La ecuación es la parte radial de la membrana circular problema, es decir:
$$x^2y''(x) +xy'(x) +(\lambda^2x^2-n^2)y(x)=0$$
con autovalor $\lambda$, donde los autovalores llegar a ser sucesivas raíces de $J_n$ y las funciones propias son $J_n(\zeta_i x)$ para root $\zeta_i$.
Sin embargo, se puede hacer esto en el caso general? Si tengo una serie de funciones:
- Forman una base ortogonal sobre un intervalo con un cierto peso de la función
- Han de dirichlet BCs en el mismo intervalo de
puede que yo siempre la construcción de un Sturm-Liouville problema/la educación a distancia para el mismo tipo de función y límite que da lugar a estos como funciones propias? Si no, cuando esto es posible?
