Encuentre $r$ cuando $r>15$

Question

Una bombilla parpadea cada cierto tiempo en minutos y se registra el tiempo que transcurre entre cada parpadeo. En total se cuentan 5 observaciones, y el tiempo entre cada una se ha registrado de la siguiente manera:

$$x_1=2.5, x_2=5.4, x_3 = 6.4, x_4 = 2.1$$

Sin embargo, la 5ª observación sólo se registra cuando el tiempo entre parpadeos es superior a 15 minutos, por lo que tenemos $x_5 > 15$ .

Calcula la media de la muestra.

Esto es lo que he probado:

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^5x_i = \frac{2.5+5.3+6.4+2.1+r}{5}=3.26+\frac{r}{5}$$

Donde $r$ representa $x_5 > 15$ . Sin embargo, ¿cómo puedo encontrar un valor para $r$ ¿es posible? La pregunta original pide esta distribución para encontrar el MLE de $X \sim \exp(\lambda;x)$ . Dar la MLE de $\exp(\lambda;x)$ es $\bar{x}$ Pensé que la interpretación que di sería la respuesta. Por favor, ¡háganme saber si es necesario un enfoque alternativo!

Answer 1

Supongo que $X_1,X_2,\ldots,X_5$ son variables aleatorias exponenciales i.i.d con media $1/\lambda$ . Sea $f$ sea su función de densidad común. En cuanto a su pregunta original sobre la MLE de $\lambda$ Creo que lo que tienes es un caso de Tipo I (correcto) censura . Hay $4$ observaciones no censuradas y el $5$ a observación es derecho censurado .

Así que para $x_i>0$ y $\lambda>0$ la probabilidad aquí toma la forma

\begin{align} L(\lambda \mid \boldsymbol x)&=\prod_{i=1}^4f(x_i)\cdot P(X_5>15) \\&=\prod_{i=1}^4 (\lambda e^{-\lambda x_i})\cdot e^{-15\lambda} \\&=\lambda^4 \exp\left\{-\lambda\sum_{i=1}^4 x_i-15\lambda\right\} \tag{1} \end{align}

También se puede decir que los datos son $(Y_i,\delta_i)$ donde $Y_i=\min(X_i,15)$ y $\delta_i=I(X_i\le 15)$ para el que la probabilidad es

$$L(\lambda\mid \boldsymbol y,\boldsymbol\delta)=\prod_{i=1}^5 (\lambda e^{-\lambda y_i})^{\delta_i}(e^{-15\lambda})^{1-\delta_i} \tag{2}$$

Tenga en cuenta que $(1)$ y $(2)$ son equivalentes.

Desde $(1)$ se deduce del cálculo habitual que la estimación ML de $\lambda$ es

$$\hat\lambda(\boldsymbol x)=\frac{4}{\sum_{i=1}^4 x_i+15}$$