Estoy en mi primer semestre de matemáticas, y me he dado cuenta de que algunos profesores parecen utilizar indistintamente que una función "sea analítica" y "sea igual a la serie de Taylor de un determinado punto a" en un intervalo. Ahora bien, la definición de ser analítica es que una función f es localmente igual a su serie de Taylor para cada punto de I. Al mirar otras preguntas, pude comprobar que aparentemente si f(x)= $\sum_{i=0}^\infty bi(x-a)^i$ en un cierto intervalo D entonces f es analítica en D. Sin embargo, no sé por qué y no sé si la recíproca es cierta. Tengo la sospecha de que no lo es, pero me imagino que se podría decir que si f es analítica en I, se podría aplicar el teorema de Heine-Borel para extraer un número finito de puntos zn, que son todos iguales a la serie de Taylor de ese punto concreto en un cierto intervalo abierto B(zn,Rn), donde los distintos B(zn,Rn) cubren I. Como los intervalos abiertos se solapan, se podría intentar demostrar que las series deben ser iguales ya que son iguales donde se solapan. Pero no he visto una respuesta satisfactoria y la gente con la que he hablado tampoco parece saberlo.
Respuesta
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Matthew Scouten
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La palabra que buscas es "analítico", no "analizante". "Analítico" se utiliza a veces como sinónimo de "forma cerrada", pero eso es algo completamente diferente.
Sí, $f$ es analítico en un conjunto $S$ si es localmente igual a la suma de una serie de Taylor convergente en cada punto de $S$ . Pero no hay garantía de que exista una única serie de Taylor que converja en todas partes en $S$ .
Por ejemplo, podría considerar $ f(z) = \frac{1}{1+z^2}$ en $[-2,2]$ . Como esto tiene polos en $\pm i$ el radio de convergencia de la serie de Taylor en cualquier punto $a$ es el mínimo de las distancias de $a$ a $\pm i$ y ésta es siempre menor que el máximo de las distancias a $\pm 2$ .
