Si $V,W$ son dominios de valoración, entonces $V+W$ es un anillo.

Question

Estoy atascado en la resolución del siguiente ejercicio:

Dejemos que $V,W$ sean dos dominios de valoración con el mismo campo de fracción $Q$ . Entonces $V+W$ es un subring de $Q$ (por lo que es el subring más pequeño de $Q$ que contiene tanto $V,W$ ).

También hay una pista: utilizar el hecho de que $ab = (a+b)(a^{-1}+b^{-1})^{-1}$ .

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

basta con demostrar que para todo $a \in V$ , $b \in W$ tenemos $ab \in V+W$ . Entonces, argumentar por contradicción y suponer que $ab \notin V + W$ . Entonces $ab \notin V$ y $ab \notin W$ . Esto implica que $(ab)^{-1} \in V \cap W$ .

Además, tenemos $a \notin W$ y $b \notin V$ Esto implica que $a^{-1} \in W$ y $b^{-1} \in V$ . Por lo tanto, $a^{-1}+b^{-1} \in V+W$ .

Pero entonces me quedé atascado. Debe haber alguna manipulación algebraica fácil de concluir, pero no lo consigo.

Answer 1

Basta con demostrar que $(a^{-1}+b^{-1})^{-1}\in V\cap W$ si $a\in V\setminus W$ y $b\in W\setminus V$ . Si, por ejemplo, $(a^{-1}+b^{-1})^{-1}\not\in V$ entonces $a^{-1}+b^{-1}$ está en el ideal máximo de $V$ . Pero como $b\not\in V$ , $b^{-1}$ también está en el ideal máximo de $V$ , por lo que esto implicaría que $a^{-1}$ está en el ideal máximo de $V$ . Esto contradice la suposición de que $a\in V$ .

Puedes intuirlo mejor si imaginas que $Q$ consiste en una especie de "funciones meromórficas" sobre un conjunto $X$ , y hay puntos $x,y\in X$ tal que $V$ es el conjunto de funciones que no tienen un polo en $x$ y $W$ es el conjunto de funciones que no tienen un polo en $y$ . Entonces, si $a\in V\setminus W$ , $a$ tiene un polo en $y$ pero no $x$ Así que $a^{-1}$ se desvanece en $y$ pero no en $x$ . Del mismo modo, si $b\in W\setminus V$ , $b^{-1}$ se desvanece en $x$ pero no en $y$ . Entonces está claro que $a^{-1}+b^{-1}$ no puede desaparecer en ninguno de los dos $x$ o $y$ Así que $(a^{-1}+b^{-1})^{-1}$ no tiene un poste en ninguno de los dos $x$ o $y$ .