Un interesante problema de optimización para encontrar $(x+y),(x−y),(−x+y),(−x−y)$ de tal manera que su resultado debe ser exlty o cercano a $\pm 2$ ?

Question

Tengo un problema muy interesante. No estoy seguro de poder resolver el problema:

Dejemos que $x,y \in R;x,y \ne 0$ .

Ahora $x,y$ tiene cuatro operaciones. $(x+y),(x-y),(-x+y),(-x-y)$ .

Mi objetivo es encontrar el resultado de las cuatro operaciones debe ser $+2$ o $-2$ . La única posibilidad es que $x=2$ , $y$ debe ser cero. y si $y=2$ , $x$ tiene que ser cero.

No puedo cambiar el valor de $x$ y $y$ . Una forma de encontrar el resultado de las operaciones indicadas anteriormente muy cerca de $\pm 2$ si encuentro $x$ , $y$ tal que $x/y= \pm \epsilon$ y $y/x= 2\pm \epsilon$ , Donde $\epsilon$ es muy pequeño. No sé si puedo usar alguna técnica en la línea real.

¿Hay alguna forma de elegir $x,y \in R$ , $x,y \ne 0$ de tal manera que el resultado de las cuatro operaciones indicadas anteriormente será muy exacto o muy cercano a $\pm 2$ ?

Answer 1

Puede introducir una medida de error para su problema.

Llamemos a sus operaciones $o_1, \cdots, o_4$ . Entonces quieres $o_i^2 = 4$ . Así, una medida de error cuadrática típica sería $E = \sum_{i = 1}^4 (o_i^2 - 4)^2$ y cuando todo es exacto, $E=0$ debe lograrse.

Evaluar da $E = 16x^2y^2 + 4(x^2 + y^2 - 4)^2$ y como ésta es la suma de dos cuadrados, hacerla cero sólo funciona con $(x,y) = (0,\pm 2)$ o $(x,y) = (\pm 2, 0)$ así que esto establece lo que ya has dicho.

Sin embargo, la medida del error hace algo más: te da una idea de lo buena que es una solución aproximada. Poniendo $x = \epsilon$ y $y = 2+\delta$ da $E = 16\epsilon^2(2+\delta)^2 + 4(\epsilon^2 + 4\delta + \delta^2)^2$ .

Para los más pequeños $\epsilon$ y $\delta$ en orden principal (más pequeño), tienes $E = 64(\epsilon^2 +\delta^2)$ lo que significa que su error cuadrático es igualmente sensible a las desviaciones de $y=2$ y $x=0$ (o cualquier otra combinación de valores exacta). Dado que, de nuevo, se trata de la suma de dos cuadrados, el error total no puede ser menor que (proporcional a) la segunda potencia de las desviaciones.