Dejemos que f:X→Y sea una función, C una familia de subconjuntos de Y , demuestre que
A={E⊆Y:f−1(E)∈σ(f−1[C])} es un σ -álgebra en Y y C⊂A
mi intento:
si C∈C entonces f−1(C)∈f−1[C]⊆σ(f−1[C]) así que C∈A
pero no he podido probar que A={E⊆Y:f−1(E)∈σ(f−1[C])} es un σ -Álgebra
Así que un σ -es, por definición, cerrada bajo operaciones teóricas de conjuntos contables. Basta con comprobar que A es cerrado bajo uniones contables y complemento.
Dejemos que {Ui} sea una familia contable contenida en A . Entonces f−1(Ui)∈σ(f−1[C]) por cada i . Por lo tanto, ⋃if−1(Ui)∈σ(f−1[C]) ya que σ(f−1[C]) es cerrado bajo uniones contables. Entonces tenemos f−1(⋃iUi)∈σ(f−1[C]) lo que equivale a la afirmación ⋃iUi∈A .
Comprobamos que si A∈A entonces A∁∈A . Declaración A∈A implica f−1(A)∈σ(f−1[C]) una vez más utilizando la definición de σ -tenemos que σ(f−1[C]) es cerrado bajo la toma de complementos, por lo que obtenemos Y∖f−1(A)=f−1(Y∖A)∈σ(f−1[C]) lo que demuestra que A∁∈A .
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