Convergencia uniforme de $\left(f_n:\ [0,1)\rightarrow \mathbb{R}:\ x \mapsto x^n\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right)_n$

Question

Para demostrar la convergencia uniforme de $\left(f_n:\ [0,1)\rightarrow \mathbb{R}:\ x \mapsto x^n\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right)_n$ ,a la función cero, lo mejor que se me ocurre es el teorema de Dini pero ¿se puede demostrar directamente a partir de la definición de convergencia uniforme?

Lo que necesitaría es disminuir el límite superior de $x^n\cos(\frac{\pi}{2})$ por cada $x\in[0,1)$ pero no se me ocurre ninguna.

Answer 1

El planteamiento estándar funciona, aunque no de forma tan concreta como quizás estés acostumbrado. Encuentra el punto o puntos críticos de $f_n$ . Aquí, además de $x=0$ , usted entiende el punto $x_n$ satisfaciendo $\cot(\frac{\pi}2 x_n) = \frac{\pi}{2n}x_n$ . Como el lado derecho va a $0$ (recuerda que $x_n\in [0,1]$ ), se deduce que $\cos(\frac{\pi}2 x_n)\to 0$ y por lo tanto $0\le f_n(x_n) \le \cos(\frac{\pi}2 x_n) \to 0$ .