$n-1$ funciones linealmente dependientes entre $f_1',f_2',\ldots,f_n'$

Question

Este es un problema del campo de entrenamiento del IMC del año pasado.

Dadas las funciones diferenciables $f_i:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, i=1,2,\ldots,n$ tal que $\{f_1,f_2,\ldots,f_n\}$ es linealmente independiente. Demuestre que hay $n-1$ funciones linealmente independientes entre $f_1',f_2',\ldots,f_n'$

Answer 1

La prueba es por contradicción. El hecho de que cada $n-1$ dependen linealmente implican que la combinación lineal no trivial de cualquier $n-1$ de las funciones es constante. Ahora, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $\sum_{k=1}^{n-1}a_kf_k(x)=b_n$ y $a_1\ne 0$ y $\sum_{l=2}^nc_lf_l(x)=b_1.$ Desde $f_1,...f_n$ son linealmente independientes tenemos $b_1,b_n\ne 0.$ Multiplica la primera ecuación por $b_1$ y el segundo por $b_n$ y restarlos para obtener una combinación lineal no trivial de $f_1,...f_n$ que se suma a $0.$ Esto supone una contradicción.