Creo que hay un fallo en el prueba por inducción . La prueba sigue siendo válida, pero añaden una suposición innecesaria:
En el paso de inducción, eligen uno de los $\lambda_i$ que es estrictamente positivo (supongo que con eso quieren decir que es distinto de cero). Como la suma de los $\lambda_i$ es 1, debe haber al menos uno que sea distinto de cero, esa parte es válida. Y el argumento que sigue también es perfectamente válido.
Sin embargo, ¿por qué tenemos que elegir un $\lambda_i$ ? ¿No funcionaría el argumento a pesar de todo? Si $\lambda_1 = 0$ la desigualdad sigue siendo válida. En otras palabras, la desigualdad se mantiene independientemente del valor de $\lambda_1$ : $$ \varphi\left( \lambda_1 x_1 + (1 - \lambda_1) \sum_{i=2}^{n+1}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i \right) ~\leqslant~ \lambda_1 \varphi(x_1) + (1-\lambda_1)\varphi\left( \sum_{i=2}^{n+1} \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i \right)$$
porque $\varphi$ es convexo, y punto. No es necesario que el coeficiente sea distinto de cero: según Definición de Wikipedia de una función convexa Es decir, es $\forall x_1, x_2 \in X$ , $\forall \lambda \in [0,1] ~ \cdots$
Desde el $\lambda_i$ son todas no negativas y su suma es 1, entonces cada $\lambda_i \in [0,1]$ por lo que se aplica la definición de convexidad.
¿Me estoy perdiendo algo?
