Clases de Stiefel-Whitney en el espíritu de Chern-Weil

Question

La teoría de Chern-Weil da clases características (por ejemplo, clase de Chern, clase de Euler, Pontryagin) de un haz vectorial en términos de polinomios en la forma de curvatura de una conexión arbitraria. Parece que no hay esperanza de obtener clases de Stiefel-Whitney a partir de este método, ya que Chern-Weil da clases de cohomología con coeficientes reales, mientras que las clases de Stiefel-Whitney tienen $\mathbb Z/2$ coeficientes. Además, como cualquier haz vectorial sobre una curva tiene curvatura evanescente, las clases obtenidas por Chern-Weil no pueden distinguir, por ejemplo, el haz de Mobius del haz trivial sobre el círculo (mientras que las clases de Stiefel-Whitney sí).

No obstante, me pregunto si existe un marco más general o abstracto que permita definir las clases de Stiefel-Whitney en el espíritu de Chern-Weil. Por ejemplo, tal vez esto se hace a través de una definición más abstracta de una conexión/curvatura.

Answer 1

Existen variedades planas (es decir, variedades riemannianas cerradas con curvatura seccional evanescente) que no admiten ningún espín o giro ${}^c$ -Estructura. Pero como la existencia del espín, resp. del espín ${}^c$ -se detecta por la segunda clase de Stiefel-Whitney, estoy convencido de que no hay forma de definirlas à la Chern-Weil. La razón es que la frase "à la Chern-Weil" implica para mí que se utiliza de forma esencial el tensor de curvatura, pero en estos ejemplos desaparece.

Answer 2

Quiero decir que la respuesta corta es no.

Pero en ciertos contextos, podemos obtener cosas análogas. Por ejemplo, si se toma un director $B$ -bundle $Q$ en $M$ y entonces suponga que puede tener una "bonita" :) extensión central de su grupo de mentira $B$ por $$1 \to \underline{\mathbb{C}^*}_M \to \tilde{B} \to B \to 1,$$ donde $\underline{\mathbb{C}^*}_M$ es la gavilla de funciones suaves en $\mathbb{C}^*$ entonces se puede definir una clase de cohomología en $H^1(M, \underline{B})$ viendo lo bien que puedes levantar tu bulto a un $\tilde{B}$ -un paquete. Ahora, por la extensión central, tendríamos $$H^1(M, \underline{B}) \overset{\sim}{=} H^2(M , \underline{\mathbb{C}^*}_M)$$ y luego por la secuencia exponencial se tendría $$H^1(M, \underline{B}) \overset{\sim}{=} H^2(M , \underline{\mathbb{C}^*}_M) \overset{\sim}{=} H^3(M, \mathbb{Z}).$$

Y entonces lo que estoy diciendo (ya que los haces principales tienen haces vectoriales asociados) que su haz vectorial en las condiciones adecuadas podría dar una clase de cohomología de grado tres en los enteros. Estoy seguro de que podrías sacar tus coeficientes de Z/2 de esto (no sé por qué querrías ser tan rígido, ni estoy afirmando que lo estés pidiendo). Luego hay una interpretación geométrica real de este número entero relacionada con una cierta forma de curvatura en esta construcción que todavía no estoy preparado para añadir a esta respuesta :)