Normalizadores en grupos simétricos

Question

Pregunta: Dejemos que $G$ sea un grupo finito. ¿Es cierto que existe un subgrupo $U$ dentro de algún grupo simétrico $S_n$ , de tal manera que $N(U)/U$ es isomorfo a $G$ ? Aquí $N(U)$ es el normalizador de $U$ sur $S_n$ .

Antecedentes: De ser cierto, esto daría, por ejemplo, una prueba trivial del Teorema de Fried-Kollar de que todo grupo finito es el grupo de automorfismo completo de un campo numérico.

Resultados: Si $U\le S_n$ actúa regularmente con respecto a la acción natural de $S_n$ entonces $N(U)/U\cong\text{Aut}(U)$ . Sin embargo, muchos grupos finitos no son el grupo de automorfismo de otro grupo finito, como la mayoría de los grupos cíclicos. Por otra parte, es fácil obtener $N(U)/U\cong G$ para cada abeliano $G$ eligiendo $U$ un producto directo de productos semidirectos $C_{p_i}\rtimes C_{m_i}$ para primos distintos adecuados $p_i$ y los divisores $m_i$ de $p_i-1$ con la acción intransitiva natural de $U$ con longitudes de órbita $p_1, p_2,\dots$ .

Añadido recientemente (respondiendo a la pregunta de Stefan Kohl en los comentarios): $Q_8$ es un cociente normalizador en $S_{81}$ . Sea $U=\mathbb F_3^4\rtimes H$ sea el grupo primitivo de grado $81$ donde $H=C_5\rtimes C_8$ con $C_8$ induciendo un grupo de automorfismo de orden $2$ en $C_5$ . Entonces $N_{S_{81}}(U)/U=Q_8$ . Esto se puede ver a mano, o usando GAP:

gap> u:=GrupoPrimitivo(81,27);;
gap> nu:=Normalizer(SymmetricGroup(81),u);;
gap> w:=nu/u;;
gap> Orden(w);
8
gap> IsQuaternionGroup(w);
verdadero

Observación 1: $N_{S_{81}}(U)$ es el grupo semiafino ${A\Gamma L}_1(\mathbb F_{81})$ . Observación 2: $U$ en Magma es PrimitiveGroup(81,26).

Answer 1

He encontrado un resultado bastante reciente que se refiere a esta cuestión. Está en este documento:

Guralnick, Robert M.; Maróti, Attila; Pyber, László , Normalizadores de grupos de permutación primitivos Adv. Math. 310, 1017-1063 (2017). ZBL1414.20002 .

Una versión arXiv es aquí . El documento examina la situación cuando $U$ es primitivo . Demuestran que, salvo en un número finito de situaciones, $|N(U)/U|<n$ . De hecho, refuerzan este límite si se añade una familia infinita particular. El resultado principal es éste:

Teorema : Dejemos que $U$ sea un subgrupo primitivo de $S_n$ y que $N=N_{S_n}(U)$ . Entonces $|N/U|< n$ a menos que $U$ es un grupo de permutación primitivo afín y el par $(n, N/U)$ es uno de: $$(3^4,O^−_4(2),(5^4,Sp_4(2)),(3^8,O^−_6(2)),(3^8,SO^−_6(2)),(3^8,O^+_6(2)),(3^8,SO^+_6(2)),(5^8,Sp_6(2)),(3^{16},O^−_8(2)),(3^{16},SO^−_8(2)),(3^{16},O^+_8(2)), \textrm{ or }(3^{16},SO^+_8(2)).$$ Además, si $N/U$ no es una sección de $\Gamma L_1(q)$ cuando $n=q$ es una potencia primera, entonces $|N/U|< n^{1/2}\log n$ para $n≥2^{14000}$ .

El comentario de @YCor en la pregunta original sugiere que el supuesto de primitividad no es demasiado oneroso. Sería interesante (pero probablemente muy difícil) tratar de entender lo que podría suceder cuando $U$ es transitivo e imprimible.