$\newcommand{\ep}{\varepsilon}\newcommand{\de}{\delta}$ Esto no es del todo obvio, y apenas tiene que ver con el lema inverso de Fatou.
De hecho, para todos los $s\in[0,t]$ , dejemos que \begin{equation*} l_n(s):=\sup_{m\colon m\ge n}\ell^m(s), \end{equation*} para que \begin{equation*} \ell^n(s)\le l_n(s)\downarrow l(s):=\limsup_n\ell^n(s). \tag{0} \end{equation*} Así que, \begin{align*} &\limsup_n P(\exists s\in[0,t]\ x+B_s\le\ell^n(s)) \\ \le &\limsup_n P(\exists s\in[0,t]\ x+B_s\le l_n(s)) \\ =&\lim_n P(\exists s\in[0,t]\ x+B_s\le l_n(s))=P(A), \end{align*} donde \begin{align*} A&:=\{\forall n\ \exists s\in[0,t]\ x+B_s\le l_n(s)\} \\ & =\{\forall n\ge m\ \exists s\in[0,t]\ x+B_s\le l_n(s)\}; \end{align*} aquí y en lo que sigue, $m$ es cualquier número natural. Por lo tanto, basta con demostrar que \begin{equation*} P(A)\overset{\text{(?)}}\le P(C), \tag{1} \end{equation*} donde \begin{equation*} C:=\{\exists s\in[0,t]\ x+B_s\le l(s)\}. \end{equation*} En realidad, demostraremos que \begin{equation*} P(A\setminus C)\overset{\text{(?)}}=0, \tag{2} \end{equation*} lo que, por supuesto, implicará (1).
Supongamos que el evento $A$ se produce. Para todos los $n$ , dejemos que
\begin{equation*} s_n:=\inf\{s\in[0,t]\colon x+B_s\le l_n(s)\}; \end{equation*} por supuesto, $s_n$ es una variable aleatoria (v.r., con valores en $[0,t]$ en $A$ ), en función de la trayectoria aleatoria del movimiento browniano $(B_t)$ . Además, como $l_n(s)\downarrow l(s)$ para todos $s\in[0,t]$ tenemos \begin{equation*} s_n\uparrow s_* \end{equation*} para alguna v.r. $s_*$ con valores en $[0,t]$ en $A$ .
Consideremos primero el caso en que $A$ ocurre y $s_n<s_*$ para todos $n$ . Entonces, para todos los $n$ hay algo de $t_n\in[s_n,s_*)$ tal que $x+B_{t_n}\le l_n(t_n)$ . También, $l_n(s)$ no es decreciente en $s\in[0,t]$ . Por lo tanto, para todos $n$ tenemos $x+B_{t_n}\le l_n(s_*)$ . Así que, \begin{equation*} x+B_{s_*}=\lim_n(x+B_{t_n})\le\lim_n l_n(s_*)=l(s_*). \end{equation*} Así, \begin{equation*} A\cap\{\forall n\ s_n<s_*\}\subseteq C. \tag{2.5} \end{equation*}
Si $A$ ocurre y $s_n=s_*=t$ para algunos $n$ (y, por tanto, para todo lo que sea suficientemente grande $n$ ), entonces para tal $n$ tenemos $x+B_t\le l_n(t)$ y por lo tanto $x+B_t\le l(t)$ . Así, \begin{equation*} A\cap\{\exists n\ s_n=s_*=t\}\subseteq C. \tag{2.75} \end{equation*}
Si $A$ se produce y si $s_n=s_*<t$ para algunos $n$ (y, por tanto, para todo lo que sea suficientemente grande $n$ ) y si $s_*$ es un punto de discontinuidad de la función $l$ , entonces para un tamaño suficientemente grande $n$ tenemos $x+B_{s_*}=x+B_{s_n}\le l_n(s_*+)$ para que $x+B_{s_*}\le l^+(s_*)$ , donde $l^+(s):=\lim_n l_n(s+)$ . Así que, \begin{equation*} x+B_d\le l^+(d) \tag{3} \end{equation*} en algún momento $d\in D$ , donde $D$ es el conjunto de todos los puntos de discontinuidad de la función no decreciente $l$ pero hay a lo sumo un número contable de puntos de este tipo.
Tenga en cuenta que para todos los $u\in[0,t)$ y todos $s\in(u,t]$ tenemos $l(s)=\lim_n l_n(s)\ge\lim_n l_n(u+)=l^+(u)$ . Así que, $l(s)\ge l^+(u)$ para todos $u\in[0,t)$ y todos $s\in(u,t]$ . Supongamos ahora que $C$ no se produce, por lo que $x+B_s>l(s)$ para todos $s\in[0,t]$ y por lo tanto $x+B_s> l^+(d)$ para cada $d\in D$ y todos $s\in(d,t]$ . Teniendo en cuenta, por ejemplo, la ley (local) del logaritmo iterado para el movimiento browniano, para cada $d\in[0,t)$ el evento $\{x+B_d\le l^+(d),\ x+B_s>l^+(d)\ \forall s\in(d,t]\}$ tiene la probabilidad cero. En vista de (3) y porque el conjunto $D$ es como máximo contable, concluimos que \begin{equation*} P(A\cap\{\exists n\ s_n=s_*<t,s_*\in D\}\setminus C)=0. \tag{4} \end{equation*}
Supongamos finalmente que $A$ ocurre y $s_n=s_*<t$ para algunos $n$ (y, por tanto, para todo lo que sea suficientemente grande $n$ ) y $s_*$ es un punto de continuidad de la función $l$ . Tome ahora cualquier $\ep>0$ . Entonces hay algo de verdad $\de>0$ tal que $l(s_*+\de)\le l(s_*)+\ep$ . Por lo tanto, para todo lo suficientemente grande $n$ , \begin{equation*} x+B_{s_*}=x+B_{s_n}\le l_n(s_n+\de)=l_n(s_*+\de)\to l(s_*+\de)\le l(s_*)+\ep. \end{equation*} Dejar ahora $\ep\downarrow0$ obtenemos $x+B_{s_*}\le l(s_*)$ . Así que, \begin{equation*} A\cap\{\exists n\ s_n=s_*<t,s_*\notin D\}\subseteq C. \tag{5} \end{equation*}
Recogiendo (2.5), (2.75), (4) y (5), confirmamos (2), como se desea.
