¿Varían los restos de la suma de recíprocos cuadrados de forma regular?

Question

Tal vez no, pero aun así me interesan los siguientes límites motivados por esta pregunta.

Dejemos que $$f(n) := \sum_{n+1}^{\infty} \frac{1}{k^2}.$$

Me interesan los límites

$$L(\alpha) := \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{f(\alpha n )}{f(n)} $$

para los números $\alpha \in \{2,3,4...\}$ .

He intentado utilizar las estimaciones de esta página:

La suma de cuadrados recíprocos: estimación del resto

He conseguido demostrar, por ejemplo, que $ L(2) \leq \frac{3}{4}$ y que $L(3) \leq \frac{7}{9} $ . Pero ni siquiera he conseguido demostrar que los límites no son $0$ . (Tal vez lo sean...)

Answer 1

Desde entonces: $$ \frac{1}{k^2}=\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)+O\left(\frac{1}{k^3}\right) $$ se deduce que: $$ f(n)=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right) $$ por lo tanto, para cualquier $\alpha$ sucede que: $$ \lim_{n\to +\infty}\frac{f(\alpha n)}{f(n)}=\frac{1}{\alpha}.$$